培玉 · 一试

2022 年福建预赛

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第 1 题

已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面上对应的点分别为 $A, B$ ，且 $∣ z_{1} ∣ = 2$ ，

z_{1}^{2} - 2 z_{1} z_{2} + 4 z_{2}^{2} = 0.

$O$ 为坐标原点，则 $△ O A B$ 的周长为。

第 2 题

已知函数

f (x) = lo g_{a} (\frac{1}{2} a x^{2} - x + \frac{1}{2})

在区间 $[2, 3]$ 上恒正，则实数 $a$ 的取值范围为。

第 3 题

点 $M, N$ 分别在 $△ A BC$ 的边 $A B, A C$ 上，且

A M = x A B, A N = y A C .

$D$ 为线段 $BC$ 的中点， $G$ 为线段 $MN$ 与 $A D$ 的交点。若 $A G = \frac{3}{5} A D$ ，则 $\frac{1}{x ^{2}} + \frac{4}{y ^{2}}$ 的最小值为。

第 4 题

$P$ 为长方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对角线 $B D_{1}$ 上一点，平面 $A PC ∥$ 平面 $D A_{1} C_{1}$ 。若 $A A_{1} = 2 A D$ ，则二面角 $P - A B - C$ 的正切值为。

第 5 题

已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，

a_{8} + a_{10} = 16 (a_{4} + a_{6}) .

数列 ${b_{n}}$ 满足：对任意正整数 $n$ ，有

a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} = (n - 1) 2^{n + 1} + 2,

则

\frac{b _{1}}{a _{1}} + \frac{b _{2}}{a _{2}} + \dots + \frac{b _{n}}{a _{n}} = .

第 6 题

从 $1, 2, 3, \dots, 11$ 这 $11$ 个正整数中任意抽取 $3$ 个不同的正整数 $a, b, c$ ，则它们的积 $ab c$ 能被 $4$ 整除的概率为。

第 7 题

已知双曲线

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的离心率为 $\frac{5}{2}$ ， $F_{1}, F_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右焦点。过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在第一象限），且 $\overline{A F_{2}} = 3 \overline{F_{2} B}$ 。若 $△ F_{1} A B$ 的面积为 $\frac{32}{3}$ ，则 $△ F_{1} A B$ 内切圆的半径为。

第 8 题

已知 $α, β, γ \in (0, π)$ ，且 $α + β + 2 γ = π$ ，则 $cos α + cos β + sin 2 γ$ 的最大值为。

第 9 题

$9^{2022}$ 的末三位数是。

第 10 题

本题整理中，不计分。

第 11 题

如果对任意的整数 $x, y$ ，不等式

4 x^{2} + y^{2} + 1 \geq k x (y + 1)

恒成立，求最大常数 $k$ 。

第 12 题

已知椭圆

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

的离心率为 $\frac{1}{2}$ ， $A_{1}, A_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右顶点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右焦点， $B$ 为椭圆 $C$ 的上顶点，且 $△ B A_{1} F_{1}$ 的外接圆半径为 $\frac{2 21}{3}$ 。

（1）求椭圆 $C$ 的方程；

（2）设与 $x$ 轴不垂直的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P, Q$ 两点（ $P, Q$ 在 $x$ 轴的两侧）。记四条直线

A_{1} P, P A_{2}, A_{2} Q, Q A_{1}

的斜率依次为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}$ 。已知

k_{1} + k_{4} = \frac{5}{3} (k_{2} + k_{3}),

求 $△ F_{2} PQ$ 面积的取值范围。

第 13 题

本题整理中，不计分。

第 14 题

已知函数

f (x) = x ln x - \frac{1}{3} a x^{3} + 2 x (a > 0) .

（1）若 $f (x) \leq 1$ 恒成立，求 $a$ 的最小值；

（2）若 $f (x)$ 存在最大值，求 $a$ 的取值范围。

第 15 题

某校数学兴趣小组有 $14$ 位同学，他们组成了 $n$ 个不同的课题组。每个课题组有 $6$ 位同学，每位同学至少参加 $2$ 个课题组，且任意两个课题组至多有 $2$ 位共同的同学。求 $n$ 的最大值。