培玉 · 一试

2021 年吉林预赛

返回真题卷目录

按原题序浏览；已整理 15/16 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

在 $△ A BC$ 中， $∣ A B ∣ = 2$ ， $∣ A C ∣ = 3$ ， $A B \cdot C A > 0$ ，且 $△ A BC$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，则 $∠ B A C$ 等于（）

A. 15 0^{\circ} B. 3 0^{\circ} C. 12 0^{\circ} D. 6 0^{\circ}

第 2 题

已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为

a_{n} = \frac{2 n - 17}{2 n - 19} (n = 1, 2, \dots),

则 ${a_{n}}$ 中最大的项是（）

A. a_{1} B. a_{9} C. a_{10} D. a_{12}

第 3 题

关于 $x$ 的方程

2^{∣2 x - 2∣} - a cos (1 - x) = 0

只有一个实数解，则（）

A. a = - 1 B. a = 1 C. a = 2 D. a 的值不唯一

第 4 题

设实数 $x, y$ 满足不等式组

⎩ ⎨ ⎧ x - y \leq 0, 4 x - y \geq 0, x + y \leq 3,

则 $z = x + 2 y - \frac{1}{x}$ 的最大值为（）

A. \frac{77}{6} B. \frac{56}{15} C. \frac{23}{6} D. 4

第 5 题

方程组

{(x + y - 1) x - 1 = 0, x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 = 0

的解的组数为（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第 6 题

已知函数

f (x) = {x^{2}, - x^{2}, x < 0, x \geq 0.

若对任意 $x \in (t^{2} - 4, t^{2})$ ，不等式 $f (x + t) < 4 f (x)$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A. (\frac{1 - 17}{2}, \frac{1 + 17}{2}) B. (0, 1)

C. [\frac{1 - 17}{2}, \frac{1 + 17}{2}] D. [0, 1]

第 7 题

已知 $α, β \in (\frac{3 π}{4}, π)$ ，

sin (α + β) = - \frac{3}{5}, sin (β - \frac{π}{4}) = \frac{12}{13},

那么 $cos (α + \frac{π}{4})$ 的值为。

第 8 题

$⊙ O$ 的直径 $A B$ 与弦 $C D$ 交于点 $P$ ，

CP = \frac{7}{5}, P D = 5, A P = 1,

则 $∠ D CB =$ 。

第 9 题

在棱长为 $2$ 的正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $BC$ 的中点。点 $P$ 在线段 $D_{1} E$ 上运动，则点 $P$ 到直线 $C C_{1}$ 的距离的最小值为。

第 10 题

已知函数

f (x) = x^{3} - a x^{2} + (a^{2} - 2) x + 1.

若存在 $m > 0$ ，使得 $f (m) \leq 0$ ，则实数 $a$ 的最大值为。

第 11 题

本题整理中，不计分。

第 12 题

已知四个整数 $a, b, c, d$ 都是偶数，且

0 < a < b < c < d, d - a = 90.

若 $a, b, c$ 成等差数列， $b, c, d$ 成等比数列，则 $a + b + c + d =$ 。

第 13 题

设 $R A ⊥$ 平面 $A BC D$ ， $RQ ∥ A D$ ，四边形 $A BC D$ 为正方形，

A D = A R = 2 RQ = 2.

$E$ 为 $BR$ 的中点， $M$ 为线段 $BQ$ 上的动点。

(1)
求证： $A E ⊥ CM$ ；
(2)
求 $MC$ 与平面 $MQ D$ 所成角的正弦值的取值范围。

第 14 题

已知曲线 $C$ 的方程为

(x^{2} + y) (x + y) = 0,

直线 $l : y = k x + b$ 与曲线 $C$ 交于三个不同的点 $A, B, C$ 。

(1)
若 $b = \frac{1}{16}$ ，求 $k$ 的取值范围；
(2)
若 $b = 1$ ，且 $∣ A B ∣ = ∣ BC ∣$ ，求 $k$ 的值。

第 15 题

设 $m > 0$ 。若对于满足

ab c \leq \frac{1}{4}, \frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{c ^{2}} < m

的任意一组正数 $a, b, c$ ，均存在以 $a, b, c$ 为三边长的三角形，求实数 $m$ 的最大值，并说明理由。

第 16 题

平面直角坐标系内有 $10$ 个不同点

P_{1} (x_{1}, y_{1}), P_{2} (x_{2}, y_{2}), \dots, P_{10} (x_{10}, y_{10}) .

若 $x_{i} = x_{j}$ 或 $y_{i} = y_{j}$ ，则称 $P_{i}$ 与 $P_{j}$ 为一个“同标点对” （不考虑 $P_{i}$ 与 $P_{j}$ 的次序）。若这 $10$ 个不同点满足：与每个点构成“同标点对”的点均不超过 $m$ 个；无论何种情况，都可以恰好将它们分成 $5$ 个点对，每个点对都不是“同标点对”。求 $m$ 的最大值。