2015 年湖北预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

若对于任意实数 $x$ ，不等式

∣ x + a ∣ - ∣ x + 1∣ \leq 2 a

恒成立，则实数 $a$ 的最小值为。

将 $5$ 名大学生村官分配到某乡镇的 $3$ 个村就职，若每个村至少 $1$ 名，则不同的分配方案种数为。

若

(x^{2} - x - 2)^{3} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6},

则 $a_{1} + a_{3} + a_{5} =$ 。

已知顶角为 $2 0^{\circ}$ 的等腰三角形的底边长为 $a$ ，腰长为 $b$ ，则

\frac{a ^{3} + b ^{3}}{a b ^{2}}

的值为。

设 $a_{n} = 2^{n}$ ， $b_{n} = 5 n - 1$ （ $n \in N^{*}$ ），

S = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2015}} \cap {b_{1}, b_{2}, \dots, b_{a_{2015}}},

则集合 $S$ 中的元素个数为。

已知点 $P$ 在 $Rt △ A BC$ 所在平面内， $∠ B A C = 9 0^{\circ}$ ， $∠ C A P$ 为锐角， $∣ A P ∣ = 2$ ，

A P \cdot A C = 2, A P \cdot A B = 1.

当 $∣ A B + A C + A P ∣$ 取得最小值时， $tan ∠ C A P =$ 。

已知正三棱锥 $P$ - $A BC$ 的底面边长为 $6$ ，侧棱长为 $21$ ，则该三棱锥的内切球半径为。

函数

f (x) = (1 + x + 1 - x + 2) (1 - x^{2} + 1)

的值域为。

已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆

\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1

的两个焦点， $A, B$ 分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点 $P$ 在线段 $A B$ 上，则 $P F_{1} \cdot P F_{2}$ 的最小值为。

使得 $\frac{p + 1}{2}$ 和 $\frac{p ^{2} + 1}{2}$ 都是完全平方数的最大质数 $p$ 为。

设平面点集

A = {(x, y) ∣ (y - x) (y - \frac{18}{25 x}) \geq 0},

B = {(x, y) ∣ (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} \leq 1} 。

若 $(x, y) \in A \cap B$ ，求 $2 x - y$ 的最小值。

设 $T_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项之积，满足

T_{n} = 1 - a_{n}, n \in N^{*} 。

(1)
求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(2)
设 $S_{n} = T_{1}^{2} + T_{2}^{2} + \dots + T_{n}^{2}$ ，求证：
$a_{n + 1} - \frac{1}{2} < S_{n} < a_{n + 1} - \frac{1}{3} 。$

过直线 $x - 2 y + 13 = 0$ 上一动点 $A$ （ $A$ 不在 $y$ 轴上）作抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的两条切线， $M, N$ 为切点，直线 $A M, A N$ 分别与 $y$ 轴交于点 $B, C$ 。