2008 年安徽预赛

1. 若函数 $y=f(x)$ 的图象绕原点顺时针旋转 $90^{\circ }$ 后，与函数 $y=g(x)$ 的图象重合，则有（ ）。

1. (A)

   $g(x)=f^{-1}(-x)$

2. (B)

   $g(x)=f^{-1}(x)$

3. (C)

   $g(x)=-f^{-1}(-x)$

4. (D)

   $g(x)=-f^{-1}(x)$

2. 在平面中，到两条相交直线的距离之和为 $1$ 的点的轨迹为（ ）。

1. (A)

   椭圆

2. (B)

   双曲线的一部分

3. (C)

   抛物线的一部分

4. (D)

   矩形

3. 下列 $4$ 个数中，与

最接近的是（ ）。

1. (A)

   $-2008$

2. (B)

   $-1$

3. (C)

   $1$

4. (D)

   $2008$

4. 四面体的 $6$ 个二面角中钝角个数最多为（ ）。

1. (A)

   $3$

2. (B)

   $4$

3. (C)

   $5$

4. (D)

   $6$

5. 将 $\frac{1}{2008}$ 写成十进制循环小数的形式

其循环节的长度为（ ）。

1. (A)

   $30$

2. (B)

   $40$

3. (C)

   $50$

4. (D)

   $60$

6. 设多项式

则 $a_0,a_1,\dots ,a_{2008}$ 中偶数的个数为（ ）。

1. (A)

   $127$

2. (B)

   $1003$

3. (C)

   $1005$

4. (D)

   $1881$

7. 化简多项式

8. 函数

的值域为 $\underline{}$。

10. 设非负实数 $a_1,a_2,\dots ,a_{2008}$ 的和等于 $1$，则

的最大值为 $\underline{}$。

11. 设点 $A(1,1)$、$B$、$C$ 在椭圆 $x^2+3y^2=4$ 上。当直线 $BC$ 的方程为

$\underline{}$ 时，$△ABC$ 的面积最大。

13. 将 $6$ 个形状相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各 $2$ 个）随机放入 $3$ 个盒子中，每个盒子中恰放 $2$ 个小球。记 $\xi$ 为盒中小球颜色相同的盒子的个数，求 $\xi$ 的分布。

14. 设 $a_1\ge 1$，

其中 $\lfloor x\rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。证明：无论 $a_1$ 取何正整数时，不在数列 $\{a_n\}$ 中的素数只有有限多个。

15. 设 $\odot O_1$ 与 $\odot O_2$ 相交于 $A\text{、}B$ 两点，$\odot O_3$ 分别与 $\odot O_1\text{、}\odot O_2$ 外切于点 $C\text{、}D$，直线 $EF$ 分别与 $\odot O_1\text{、}\odot O_2$ 相切于点 $E\text{、}F$，直线 $CE$ 与直线 $DF$ 相交于点 $G$。证明：$A\text{、}B\text{、}G$ 三点共线。