2008 年安徽预赛 · 第 14 题

解答

设初项为正整数 $A$。由递推可归纳得 $1\le a_n\le \max (A,n)$。取 $N\ge \max (A,2)$，则 $a_N\le N$，再迭代两步可得 $a_{N+1}\le N$、$a_{N+2}\le N$。因此从某一下标起，$d_n=n-a_n\ge 2$。 若 $a_n=a\ge 1,d_n=d\ge 2$，则

故 $a_{n+1}\ge a_n+1$，即 $d_{n+1}\le d_n$。另一方面 $a_n\le n-2$ 给

所以 $a_{n+1}\le n-1$，即 $d_{n+1}\ge 2$。这也证明所用差值范围会一直保持。 非增且不小于二的整数数列 $d_n$ 最终为常数 $d$。于是从某一项起 $a_n=n-d$，逐一取遍所有充分大的正整数。因此不在原数列中的正整数只有有限多个，尤其不在其中的素数 $\boxed{\text{只有有限多个}}$。