培玉 · 一试

2021 年浙江预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

给定实数集合 $A, B$ ，定义运算

A \otimes B = {x ∣ x = ab + a + b, a \in A, b \in B} .

设

A = {0, 2, 4, \dots, 18}, B = {98, 99, 100},

则 $A \otimes B$ 中的所有元素之和为。

第 1 题

已知单位向量 $a, b$ ，则 $∣ a - 2 b ∣$ 的取值范围为。

第 2 题

计算

sin^{2} 2 0^{\circ} + cos^{2} 5 0^{\circ} + sin 2 0^{\circ} cos 5 0^{\circ} = 。

第 3 题

设复数 $z = x + y i$ 的实部、虚部 $x, y$ 所形成的点 $(x, y)$ 在椭圆

\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{16} = 1

上。若 $\frac{z - 1 - i}{z - i}$ 为实数，则复数 $z =$ 。

第 4 题

对于正整数 $n$ ，若 $(x y - 5 x + 3 y - 15)^{n}$ 展开式经同类项合并， $x^{i} y^{j}$ （ $i, j = 0, 1, \dots, n$ ）合并后至少有 $2021$ 项，则 $n$ 的最小值为。

第 5 题

设直角坐标平面上两个区域为

M = {(x, y) \in R^{2} ∣ 0 \leq y \leq min {2 x, 3 - x}},

N = {(x, y) \in R^{2} ∣ t \leq x \leq t + 2} .

记 $M$ 与 $N$ 的公共部分面积为 $f (t)$ 。当 $0 \leq t \leq 1$ 时， $f (t)$ 的表达式为。

第 6 题

设

a_{0} = 0, a_{1} = a_{2} = 1, a_{3 n} = a_{n}, a_{3 n + 1} = a_{3 n + 2} = a_{n} + 1 (n \geq 1),

则 $a_{2021} =$ 。

第 8 题

在 $△ A BC$ 中， $∠ B = ∠ C = 3 0^{\circ}$ ， $BC = 23$ ， $P, Q$ 分别在线段 $A B, A C$ 上， $A P = 1$ ， $A Q = 2$ 。直线 $A D ⊥ BC$ 于 $D$ 。现将 $△ A BC$ 沿着 $A D$ 对折，当平面 $A D B$ 与平面 $A D C$ 的二面角为 $6 0^{\circ}$ 时，线段 $PQ$ 的长度为。

第 9 题

本题整理中，不计分。

第 10 题

设数列

a_{n + 1} = ⌊ \frac{a _{n}}{2} ⌋ + ⌊ \frac{a _{n}}{3} ⌋, n = 1, 2, \dots, 7,

这里 $⌊ x ⌋$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。若 $a_{8} = 8$ ，则正整数 $a_{1}$ 有种可能的取值情况。

第 11 题

已知二次函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ （ $a, b \in R$ ）有两个不同的零点。若 $f (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ 有四个不同的根 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，且 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 成等差数列，求 $a - b$ 的取值范围。

第 12 题

设 $C$ 为椭圆

\frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{4} = 1

的左焦点，直线 $y = k x + 1$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点。

（1）求 $∣ C A ∣ + ∣ CB ∣$ 的最大值；

（2）若直线 $y = k x + 1$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $M, N$ ，且以 $MN$ 为直径的圆与线段 $MN$ 的垂直平分线的交点在椭圆内部（包括在边界上），求实数 $k$ 的取值范围。

第 13 题

设 $n$ 为给定的正整数， $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 为满足对每个 $m \leq n$ 都有

k = 1 \sum m \frac{a _{k}}{k} \leq 1

的一列实数，求 $∣ \sum_{k = 1}^{n} a_{k} ∣$ 的最大值。

第 14 题

设数集 $P = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}}$ ，它的平均数为

C_{P} = \frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{m}}{m} .

现将 $S = {1, 2, \dots, n}$ 分成两个非空且不相交子集 $A, B$ ，求 $∣ C_{A} - C_{B} ∣$ 的最大值，并讨论取到最大值时不同的有序数对 $(A, B)$ 的数目。

第 15 题

设 $x, y, z > 0$ ， $x + y + z = 1$ 。证明：

\frac{x ^{4} + y ^{2} z ^{2}}{x ^{5/2} ( y + z )} + \frac{y ^{4} + z ^{2} x ^{2}}{y ^{5/2} ( z + x )} + \frac{z ^{4} + x ^{2} y ^{2}}{z ^{5/2} ( x + y )} \geq 1.