2011 年河北预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知数列 $a_{n}$ 满足

a_{n + 1} \leq \frac{a _{n + 2} + a _{n}}{2}, a_{1} = 1, a_{403} = 2011.

则 $a_{5}$ 的最大值为。

若 $x, y$ 均为正整数，且 $x^{5} - y^{5}$ 的值恰好是由一个 $2$ 、一个 $0$ 、两个 $1$ 组成的四位数，则满足条件的所有四位数是。

已知 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ ，则 $ab + b c + a c$ 的值域为。

标号 $1, 2, \dots, 13$ 号共 $4$ 种颜色的卡片共计 $52$ 张，加上两张空白卡片，平均放入三个不同的盒子。若某个盒子中有两张空白卡片、 $4$ 张 $1$ 号卡片，且 $2, 3, \dots, 13$ 号卡片各一张，称该盒是“超级盒”。则出现超级盒的概率为

（列出算式即可）。

已知

a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{n + 2} = (n + 3) a_{n + 1} - (n + 2) a_{n} .

当 $m \geq n$ 时， $a_{m}$ 的值都能被 $9$ 整除，则 $n$ 的最小值为。

函数

f (x) = \frac{x}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 3} + \dots + \frac{x + 2010}{x + 2011}

的图象的对称中心为。

本题整理中，不计分。

已知 $O$ 为坐标原点， $B (4, 0)$ ， $C (5, 9)$ ，过 $C$ 作 $x$ 轴的垂线， $M$ 是这条垂线上的动点。以 $O$ 为圆心、 $OB$ 为半径作圆， $M T_{1}, M T_{2}$ 是圆的切线，则 $△ M T_{1} T_{2}$ 垂心的轨迹方程是

。

解不等式：

x + \frac{1}{x ^{2}} - x - \frac{1}{x ^{2}} < \frac{1}{x} .

如图，已知 $A, B$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与 $x$ 轴的两个交点， $P$ 为直线 $l : x = 4$ 上的动点。 $P A, PB$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的另一个交点分别为 $M, N$ 。

求证：直线 $MN$ 过定点。

求证：当 $n \geq 23$ 时，总有

2 < 1 + \frac{1}{2 ^{3}} + \frac{1}{3 ^{3}} + \dots + \frac{1}{n ^{3}} < 3

成立。

已知

f (x, y) = x^{3} + y^{3} + x^{2} y + x y^{2} - 3 (x^{2} + y^{2} + x y) + 3 (x + y),

且 $x, y \geq \frac{1}{2}$ ，求 $f (x, y)$ 的最小值。

(1)
在 $△ A BC$ 中， $∠ BC A = 9 0^{\circ}$ ，则有 $A C^{2} + B C^{2} = A B^{2}$ ；类比到三维空间中，你能得到什么结论？请给出证明。
(2)
在 $△ A BC$ 中， $∠ BC A = 9 0^{\circ}$ ，若点 $C$ 到 $A B$ 的距离为 $h$ ， $△ A BC$ 的内切圆半径为 $r$ ，求 $r / h$ 的最小值。
(3)
推广（2）的结论到三维空间，并证明之。

已知数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 满足

a_{1} = 2 p, a_{n + 1} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{p ^{2}}{a _{n}}), b_{n} = \frac{a _{n} + p}{a _{n} - p} (n \in N^{*}, p > 0) .

(1)
求数列 ${b_{n}}$ 的通项；
(2)
证明： $\frac{a _{n} - p}{a _{n + 1} - p} = 3^{2^{n - 1}} + 1$ ；
(3)
设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，当 $n \geq 2$ 时， $S_{n}$ 与 $(n + \frac{23}{18}) p$ 的大小关系是否确定？请说明理由。