2017 年辽宁预赛

$△ABC$ 的三个内角为 $A,B,C$。若

则 $\cos A+\cos B+2\cos C$ 的最大值为（ ）。

1. (A)

   $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

2. (B)

   $\sqrt{5}$

3. (C)

   $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

4. (D)

   $\sqrt{6}$

已知长方体的表面积为 $\frac{45}{2}$，所有棱长的总和为 $24$，则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为（ ）。

1. (A)

   $\arccos \frac{1}{3}$

2. (B)

   $\arccos \frac{\sqrt{2}}{3}$

3. (C)

   $\arccos \frac{\sqrt{3}}{9}$

4. (D)

   $\arccos \frac{\sqrt{6}}{9}$

数列 $a_0=134,a_1=150,a_{k+1}=a_{k-1}-\frac{k}{a_k}$（$k=1,2,\dots ,n-1$）。若 $a_n=0$，则 $n$ 为（ ）。

1. (A)

   $20$

2. (B)

   $201$

3. (C)

   $2017$

4. (D)

   $20101$

对于三位数 $\overline{abc}$，满足

的三位数的个数共有（ ）个。

1. (A)

   $13$

2. (B)

   $14$

3. (C)

   $15$

4. (D)

   $16$

已知正数 $a,b,c,d$ 满足 $a+2b=1,c+2d=1$，则

的最小值为（ ）。

1. (A)

   $\frac{1}{16}$

2. (B)

   $8$

3. (C)

   $\frac{1}{5}$

4. (D)

   $25$

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数，满足

则函数 $f(x)$ 的解析式为。

已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$，则

的最大值为。

如图，设 $P$ 为立方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱 $AB$ 上的动点，则平面 $PD{B}_1$ 与平面 $AD{D}_1{A}_1$ 所成二面角的最小值为。

已知 $F_1,F_2$ 分别为椭圆

的左、右焦点，$|F_1{F}_2|=2$。$A$ 为 $\Gamma$ 的右端点，直线 $l$ 过点 $A$ 且垂直于 $x$ 轴，$P$ 为直线 $l$ 上一动点。若 $\angle F_{1}P{F}_2$ 的最大值为 $\pi /4$，则此时点 $P$ 的坐标为。

在 $△ABC$ 中，$AB=\sqrt{2},AC=\sqrt{3},\angle BAC=30^{\circ }$，$P$ 是 $△ABC$ 所在平面上任意一点，则

的最小值是。

已知 $x+y=1$，问：当实数 $x,y$ 为何值时，$(x^3+1)(y^3+1)$ 取得最大值。

如图，$I$ 为 $△ABC$ 的内心，$△AIB$ 的外接圆圆心为 $O$，$CA$ 与圆 $O$ 交于点 $P$，$CB$ 与圆 $O$ 交于点 $Q$。

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的上顶点为 $M$，下顶点为 $N$，$T(t,2)$（$t\ne 0$）为直线 $y=2$ 上一点。过点 $T$ 的直线 $TM,TN$ 分别与椭圆 $C$ 交于 $E,F$ 两点。

若 $△TMN$ 的面积是 $△TEF$ 的面积的 $k$ 倍，问：当 $t$ 为何值时，$k$ 取最大值。