培玉 · 一试

2025 年江苏预赛

返回真题卷目录

按原题序浏览；已整理 15/16 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

方程

x^{l o g_{2} x} = \frac{x ^{2}}{2 2}

的解集为。

第 2 题

设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和。已知 $a_{2025} = S_{2025} = 2025$ ，则 $d =$ 。

第 3 题

设 $z$ 为复数， $i$ 为虚数单位。若

\frac{z - 1}{z + 1}

的实部为 $0$ ，则 $∣ z - 3 - 4 i ∣$ 的最大值为。

第 4 题

化简

2 sin 2 0^{\circ} + cos 1 0^{\circ} + tan 2 0^{\circ} sin 1 0^{\circ}

的结果为。

第 5 题

在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a, b > 0)

的左、右焦点， $P$ 是双曲线右支上一点， $M$ 是 $P F_{2}$ 的中点，且 $OM ⊥ P F_{2}$ 。若双曲线的离心率为 $5$ ，则 $P F_{1} / P F_{2} =$ 。

第 6 题

四边形 $A BC D$ 中， $A B = A C = C D = 1$ ， $BC = 2$ ， $A D = 3$ 。沿直线 $A C$ 将 $△ A C D$ 折起，形成三棱锥 $D - A BC$ 。已知二面角 $B - A C - D$ 的大小为 $12 0^{\circ}$ ，则三棱锥 $D - A BC$ 的体积为。

第 7 题

在 $△ A BC$ 中， $A B = 5, BC = 3, C A = 4$ ，点 $I$ 为 $△ A BC$ 的内心。设 $α, β \in R$ ，若

C I = α C A + β A B,

则 $α + β =$ 。

第 8 题

甲有 $2$ 个白球和 $1$ 个黑球，乙有 $3$ 个白球。甲乙两人每次各随机取出 $1$ 个球交换。经过四次交换后，黑球仍在甲处的概率为。

第 9 题

已知 $△ A BC$ 的面积为 $2$ ， $A B = 2$ ，则 $CB / C A$ 的范围为。

第 10 题

原配图缺失，本图依据题面函数重绘。如图，函数 $f (x) = e^{x} - e + 1$ 与 $g (x) = ln (x + e - 1)$ 的部分图像组成封闭曲线 $C$ 。设斜率为 $- 1$ 的直线与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，则 $A B$ 的最大值为。

第 11 题

设 $τ (d)$ 表示正整数 $d$ 的所有正因数的个数，并定义

f (n) = d ∣ n \sum τ (d) .

则 $f (100) =$ 。

第 12 题

设函数 $f (x)$ 定义在 $[0, + \infty)$ 上， $f (2) = 0$ ， $f (x) \geq 0$ ，且当 $0 \leq x < 2$ 时 $f (x) \neq = 0$ 。若

f (x f (y)) f (y) = f (x + y),

则 $f (20/11) + f (25/11) =$ 。

第 13 题

设 $A, B, C$ 为 $△ A BC$ 的三个内角，求

sin^{2} A + sin^{2} B + sin^{2} C

的最大值。

第 14 题

如图，在圆内接四边形 $A BC D$ 中，点 $E, F$ 在对角线 $B D$ 上，满足 $D E = BF$ 。若 $∠ D A E = ∠ C A B$ ，证明 $∠ D CF = ∠ A CB$ 。

第 15 题

本题整理中，不计分。

第 16 题

有 $9$ 支队伍进行单循环赛（任意两队之间至多进行一场比赛）。在比赛了一个阶段后统计，发现任意 $3$ 支队伍之间至多进行了两场比赛。求此时这 $9$ 支队伍之间比赛总场次的最大值，并说明理由。