2012 年天津预赛

数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=n^2-2n$，则 $a_3+a_{17}$ 等于（  ）。

1. (A)

   $36$

2. (B)

   $35$

3. (C)

   $34$

4. (D)

   $33$

若 $x>1$，则 $x^{\ln \ln x}-(\ln x{)}^{\ln x}$ 的值是（  ）。

1. (A)

   正数

2. (B)

   零

3. (C)

   负数

4. (D)

   以上皆有可能

如果 $△ABC$ 中，$A,B$ 为锐角，且 ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B=\sin C$，则对 $△ABC$ 的形状描述最准确的是（  ）。

1. (A)

   直角三角形

2. (B)

   等腰三角形

3. (C)

   等腰直角三角形

4. (D)

   以上均不对

设椭圆与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点。已知对于椭圆上不同于 $A,B$ 的任意一点 $P$，直线 $AP$ 与 $BP$ 的斜率之积均为 $-\frac{1}{2}$，则椭圆的离心率为（  ）。

1. (A)

   $\frac{1}{\sqrt{3}}$

2. (B)

   $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

3. (C)

   $\frac{1}{2}$

4. (D)

   $\frac{1}{\sqrt{2}}$

在正四面体 $ABCD$ 中，$M,N$ 分别是 $BC$ 和 $DA$ 的中点，则直线 $AM$ 和 $BN$ 所成角的余弦值是（  ）。

1. (A)

   $\frac{1}{3}$

2. (B)

   $\frac{1}{2}$

3. (C)

   $\frac{2}{3}$

4. (D)

   $\frac{3}{4}$

在半径为 $1$ 的球面上有不共面的四个点 $A,B,C,D$，且 $AB=CD=x$，$BC=DA=y$，$CA=BD=z$。则 $x^2+y^2+z^2$ 等于（  ）。

1. (A)

   $2$

2. (B)

   $4$

3. (C)

   $8$

4. (D)

   $16$

函数 $y=1+\cos x$，$x\in [-\pi ,\pi ]$ 的图象与 $x$ 轴围成的区域面积是。

已知 $ABCDEF$ 是边长为 $2$ 的正六边形，一条抛物线经过 $A,B,C,D$ 四点，则该抛物线的焦点到准线的距离是。

如果复数 $z$ 满足 $|z|=1$，且 $z^2=a+bi$，其中 $a,b$ 为实数，则 $a+b$ 的最大值是。

函数 $y=|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-10|$ 的最小值是。

极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{n^2}\right)=$。

如果对一切正实数 $x,y$，都成立不等式

则实数 $a$ 的取值范围是。

如果双曲线的两个焦点坐标分别为 $F_1(-2,0)$ 和 $F_2(2,0)$，双曲线的一条切线交 $x$ 轴于 $Q\left(\frac{1}{2},0\right)$，且斜率为 $2$。

1. (1)

   求双曲线的方程；

2. (2)

   设该切线与双曲线的切点为 $P$，求证：$\angle F_{1}PQ=\angle F_{2}PQ$。