2017 年河北预赛

设函数 $f(x)=x^3+x$，若 $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ 时，

恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为。

已知 $x,y\in \mathbb{R}$，$2x^2+3y^2\le 12$，则 $|x+2y|$ 的最大值为。

设 $a,b\in \mathbb{Z}$，$m$ 为正整数，若用 $m$ 去除 $a,b$ 所得的余数相同，则称 $a$ 与 $b$ 关于 $m$ 同余，记作 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$。那么以下论断中：

1. 1.

   若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，$d$ 是 $m$ 的正约数，则 $a\equiv b(\mathrm{mod}d)$；

2. 2.

   若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，$a\equiv b(\mathrm{mod}n)$，则 $a\equiv b(\mathrm{mod}mn)$；

3. 3.

   若 $c$ 为正整数，$ac\equiv bc(\mathrm{mod}m)$，则 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$；

4. 4.

   设 $f(x)=x^3-2x+5$，若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，则 $f(a)\equiv f(b)(\mathrm{mod}m)$。

正确命题的序号为。（写出所有正确命题的序号）

函数

的图象与函数 $y=g(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称。当 $x\in \left[0,\frac{4}{3}\right]$ 时，$g(x)$ 的最大值为。

正三角形 $ABC$ 的边长为 $2\sqrt{3}$，其所在平面内的两个动点 $P,M$ 满足

则 $|CM|$ 的最小值为。

双曲线 $C:x^2-y^2=2$ 的右焦点为 $F$，$P$ 为其左支上任意一点，点 $A$ 的坐标为 $(-1,1)$，则 $△APF$ 周长的最小值为。

设

那么 $a_1+a_5+a_9+\cdots +a_{2017}$ 的值为。

正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，设顶点 $A$ 关于平面 $C_{1}BD$ 和直线 $B_{1}D$ 的对称点分别为 $P,Q$，则直线 $PQ$ 与平面 $A_{1}BD$ 所成角的正弦值为。

（14 分）前 $n$ 项和为 $S_n$ 的正项数列 $\{a_n\}$，满足

1. (1)

   求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

2. (2)

   求证：

   $$\left(1+\frac{1}{a_1}\right)\left(1+\frac{1}{a_2}\right)\cdots \left(1+\frac{1}{a_{n-1}}\right)>\frac{\sqrt{a_n}}{2}.$$

（14 分）已知集合 $A=\{1,2,3,4,\dots ,101\}$，集合 $B\subseteq A$，且集合 $B$ 中的最小元素是偶数。

1. (1)

   若集合 $B$ 中的最小元素是 $2$，最大元素是 $13$，求满足条件的集合 $B$ 的个数；

2. (2)

   求所有满足条件的集合 $B$ 中的最大元素之和。

（14 分）已知函数 $f(x)=x^2-2\ln x$，若存在 $x_1,x_2,\dots ,x_n\in \left[\frac{1}{e},e\right]$，使得

成立，求 $n$ 的最大值。

设椭圆 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ 的两条互相垂直的切线的交点轨迹为 $C$。曲线 $C$ 的两条切线 $PA,PB$ 交于点 $P$，且与 $C$ 分别切于 $A,B$ 两点，求 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 的最小值。

（15 分）如图，直角梯形 $ABCD$ 中，$AD\perp CD$。以 $A$ 为圆心、$AD$ 为半径的圆与以 $B$ 为圆心、$BC$ 为半径的圆交于 $E,F$ 两点，$\odot O$ 与 $\odot A$ 和 $\odot B$ 均内切，切点分别为 $G,H$。求证：$GD$、$EF$、$HC$ 三线共点。