培玉 · 一试

2010 年河南预赛（高二卷）

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练习时长（分钟）

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第 1 题

设集合

M = {x ∣ 0 < x \leq 3}, N = {x ∣ 0 < x \leq 2} .

那么“ $a \in M$ ”是“ $a \in N$ ”的（）。

(A)
充分不必要条件
(B)
必要不充分条件
(C)
充要条件
(D)
既不充分也不必要条件

第 2 题

本题整理中，不计分。

第 3 题

设

f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}, f_{1} (x) = f (x), f_{n + 1} (x) = f (f_{n} (x)) .

则 $f_{2010} (x) =$ （）．

(A)
$x$
(B)
$- \frac{1}{x}$
(C)
$\frac{x - 1}{x + 1}$
(D)
$\frac{1 + x}{1 - x}$

第 4 题

本题整理中，不计分。

第 5 题

将 5 名同学分配到 $A, B, C$ 三个宿舍中，每个宿舍至少安排 1 名学生，其中甲同学不能分配到 $A$ 宿舍，那么不同的分配方案有（）种．

(A)
$76$
(B)
$100$
(C)
$132$
(D)
$150$

第 6 题

本题整理中，不计分。

第 7 题

已知 $△ A BC$ 的三个内角 $A, B, C$ 成等差数列，且边 $A B = 1$ ， $BC = 4$ ，则边 $BC$ 上的中线 $A D$ 的长为

.

第 8 题

计算

1 + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \dots + \frac{1}{1 + 2 + \dots + 2010} = .

第 9 题

已知两点 $M (- 5, 0), N (5, 0)$ 。若直线上存在点 $P$ ，使 $∣ PM ∣ - ∣ PN ∣ = 6$ ，则称该直线为“和谐直线”。给出下列直线

\overset{◯}{1} y = x - 1; \overset{◯}{2} y = 2; \overset{◯}{3} y = \frac{5}{3} x; \overset{◯}{4} y = 2 x + 1.

其中为“和谐直线”的是

.

第 10 题

记

M = (5 + 24)^{2 n} (n \in N^{*}),

$N$ 是 $M$ 的小数部分，则 $M (1 - N)$ 的值是

.

第 11 题

如图，已知圆 $C : (x + 1)^{2} + y^{2} = 8$ ，定点 $A (1, 0)$ ， $M$ 为圆上一动点，点 $P$ 在 $A M$ 上，点 $N$ 在 $MC$ 上，且满足 $A M = 2 A P$ ， $NP \cdot A M = 0$ ，点 $N$ 的轨迹为曲线 $E$ 。若过定点 $F (2, 0)$ 的直线交曲线 $E$ 于不同的两点 $G, H$ （点 $G$ 在点 $F, H$ 之间），且满足 $FG = λ F H$ ，则 $λ$ 的取值范围是

.

第 12 题

设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足

S_{n} + a_{n} = \frac{n - 1}{n ( n + 1 )}, n = 1, 2, \dots,

则通项 $a_{n} =$

.

第 13 题

已知函数 $f (x) = ∣ sin x ∣$ 的图象与直线 $y = k x$ （ $k > 0$ ）有且仅有三个公共点，公共点的横坐标的最大值为 $α$ 。求证：

\frac{cos α}{sin α + sin 3 α} = \frac{1 + α ^{2}}{4 α} .

第 14 题

已知 $∠ A OB = θ$ （ $0 < θ < π /2$ ），动点 $P, Q$ 分别在射线 $O A, OB$ 上，使得 $△ POQ$ 的面积恒为 $36$ 。设 $△ POQ$ 的重心为 $G$ ，点 $M$ 在射线 $OG$ 上，且满足

∣ OM ∣ = \frac{3}{2} ∣ OG ∣.

(1)
求 $∣ OG ∣$ 的最小值；
(2)
求动点 $M$ 的轨迹方程。

第 15 题

设首项为 $a_{1}$ 的正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $q$ 为非零常数，且对任意正整数 $n, m$ ，当 $n > m$ 时

S_{n} - S_{m} = q^{m} S_{n - m}

总成立。

(1)
求证：数列 ${a_{n}}$ 是等比数列。
(2)
若正整数 $m, k, h$ 成等差数列，求证
$\frac{1}{S _{m}} + \frac{1}{S _{h}} \geq \frac{2}{S _{k}} .$

第 16 题

如图， $P$ 是抛物线 $y^{2} = 2 x$ 上的动点，点 $B, C$ 在 $y$ 轴上，圆

(x - 1)^{2} + y^{2} = 1

内切于 $△ PBC$ ，求 $△ PBC$ 面积的最小值。