2010 年河南预赛（高二卷） · 第 10 题

解答

令 $\alpha =5+\sqrt{24}$，$\beta =5-\sqrt{24}$。有 $\alpha \beta =1$，$0<\beta <1$。幂和 $u_k={\alpha }^k+{\beta }^k$ 满足 $u_0=2,u_1=10,u_k=10u_{k-1}-u_{k-2}$，故全为整数。于是 $M=u_{2n}-{\beta }^{2n}$ 的整数部分是 $u_{2n}-1$，小数部分 $N=1-{\beta }^{2n}$。故 $\boxed{M(1-N)={\alpha }^{2n}{\beta }^{2n}=1}$。