培玉 · 一试

2024 年广东预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知 $m, a, b, c$ 为正整数，且

a lo g_{m} 2 + b lo g_{m} 3 + c lo g_{m} 5 = 2024,

则 $m + a + b + c$ 的最小值是。

第 2 题

已知 $x > 0, y > 0$ ，

- lo g_{3} y + 3^{x} = y - 2 x = 15 \cdot \frac{3 ^{2 x - 1}}{y},

则 $y + x =$ 。

第 3 题

若 $A, B$ 为锐角且

sin B \cdot sin (A + B) = sin A,

则 $tan A$ 的最大值为。

第 4 题

数列 ${a_{n}}$ 满足：对任意 $n \geq 2$ ，

a_{n} = 2024 a_{n - 1} - n .

如果该数列的每一项都是正数，则 $a_{1}$ 的最小值为。

第 5 题

本题整理中，不计分。

第 6 题

设 $x, y$ 均为非零实数，且满足

\frac{x sin \frac{π}{12} + y cos \frac{π}{12}}{x cos \frac{π}{12} - y sin \frac{π}{12}} = tan \frac{π}{3} .

在 $△ A BC$ 中，若 $tan C = y / x$ ，则

sin 3 A + 3 sin 2 B

的最大值为。

第 7 题

已知复数 $z$ ，满足 $z \in / R$ ， $z + \frac{2}{z} \in R$ ，则

∣ z^{2} + 2 z - 3∣

的最大值为。

第 8 题

设 $n$ 是正整数， $3^{n} - 1$ 没有 $12$ 以上的质因子，则所有满足条件的 $n$ 的和是。

第 9 题

已知四面体 $P A BC$ ，点 $A_{1}$ 在 $△ PBC$ 内，满足

[△ A_{1} BP] : [△ A_{1} CP] : [△ A_{1} BC] = 3 : 2 : 1.

$G$ 在线段 $A A_{1}$ 上，直线 $PG$ 交平面 $A BC$ 于点 $M$ ，且

\frac{A G}{G A _{1}} = \frac{PG}{GM},

则四面体 $P A BC$ 与 $A_{1} A MB$ 的体积之比为。

第 10 题

在一个 $10 \times 10$ 的方格表中填入 $0$ 和 $1$ ，使得任意一个 $3 \times 3$ 的方格表中都恰有一个 $1$ ，则满足要求的填法共有种。

第 11 题

已知抛物线

C : y^{2} = 18 x + 27

的焦点与椭圆

E : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

的右焦点 $F_{2}$ 重合， $C$ 的准线经过 $E$ 的左顶点。

（1）求 $E$ 的方程；

（2）已知 $F_{1}$ 为 $E$ 的左焦点， $P$ 为 $E$ 上的一点（异于左、右顶点）， $△ P F_{1} F_{2}$ 外接圆的半径为 $R$ 、内切圆的半径为 $r$ ，求 $R r$ 的取值范围。

第 12 题

已知方程

ln x + x (1 - m) = 0 (m \in R)

有两个不同的零点，分别记为 $a, b$ ，且 $a < b$ 。

（1）求实数 $m$ 的取值范围；

（2）若不等式

t + 1 < ln a + t ln b

恒成立，求正数 $t$ 的取值范围。

第 13 题

设有限集 $A, B, C \subseteq R$ 。对任意 $x \in R$ ，定义

N_{A, B, C} (x) = {(a, b, c) ∣ a \in A, b \in B, c \in C, a + b + c = x} .

证明以下结论：

（1）存在 $x \in R$ ，使得

0 < N_{A, B, C} (x) \leq \frac{∣ A ∣ \cdot ∣ B ∣ \cdot ∣ C ∣}{∣ A + B + C ∣};

（2）

x \in A + B + C \sum (N_{A, B, C} (x))^{2} \geq \frac{∣ A ∣ ^{2} \cdot ∣ B ∣ ^{2} \cdot ∣ C ∣ ^{2}}{∣ A + B + C ∣} .

其中 $∣ A ∣$ 表示集合 $A$ 中的元素个数，

A + B + C = {a + b + c ∣ a \in A, b \in B, c \in C} .

第 14 题

如图， $A B$ 为圆 $O$ 的一条弦（ $A B < 3 R$ ， $R$ 为圆 $O$ 的半径）， $C$ 为优弧 $A B$ 的中点， $M$ 为弦 $A B$ 的中点。点 $D, E, N$ 分别在劣弧 $BC$ 、劣弧 $C A$ 和劣弧 $A B$ 上，满足 $B D = CE$ ，且 $A D, BE, CN$ 三线共点于 $F$ 。延长 $CN$ 至 $G$ ，使 $GN = FN$ 。求证：

∠ FMB = ∠ GMB .