培玉 · 一试

2025 年北京预赛

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第 1 题

若存在实数 $x$ 使得不等式

a^{s i n^{2} x} + a^{2 + c o s^{2} x} \geq 3

成立，则正实数 $a$ 的取值范围是。

第 1 题

设 $a, b, c, d > 0$ ，求证：

cyc \sum \frac{1}{a ^{4} + b ^{4} + c ^{4} + ab c d} \leq \frac{1}{ab c d},

其中求和按 $a, b, c, d$ 循环进行。

第 2 题

定义数列 ${a_{n}}$ ：

a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{x + a _{n}}{1 - x a _{n}} (x 为常数) .

若 ${a_{n}}$ 的最小正周期为 $3$ ，则 $a_{2025} =$ 。

第 2 题

已知互不相等的正整数 $a, b, c$ 和互不相等的正整数 $A, B, C$ ，满足

[a, b] = (A, B), [b, c] = (B, C), [c, a] = (C, A),

其中 $[x, y]$ 表示最小公倍数， $(x, y)$ 表示最大公因数。求

\frac{A + B + C}{a + b + c}

的所有可能整数值。

第 3 题

已知正整数 $m, n$ 满足 $m^{2} - n = 32$ ，且

5 m + n + 5 m - n

是方程

x^{5} - 10 x^{3} + 20 x - 40 = 0

的一个实根，则 $m + n =$ 。

第 3 题

本题整理中，不计分。

第 4 题

在正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，

A B = A A_{1} = A D = 2.

$M$ 为平面 $B A_{1} C_{1}$ 内一点，则 $M A \cdot MC$ 的最小值是。

第 4 题

有 $2025$ 张数字卡片，上面分别写有数字 $1$ 至 $45$ ，每个数字的卡片恰有 $45$ 张。现在有 $45$ 位高中生参加交换卡片的游戏，每次交换由两位同学参与，他们两人各自将某一张手中的卡片交给对方。每人最初持有 $45$ 张卡片。

求证：至少存在一种交换方案，每张卡片至多只参加一次交换，使得最终每人手中都有 $1$ 至 $45$ 号卡片各一张。

第 5 题

在 $△ A BC$ 中，

(sin A + sin B) sin \frac{A - B}{2} = 2 cos \frac{C}{2} cos \frac{A}{2} cos \frac{B - C}{2} .

已知 $BC = 2$ ，则 $△ A BC$ 的外接圆半径为。

第 6 题

关于 $z$ 的方程

z^{n + 1} - 3 z^{n} - 1 = 0

存在一个模为 $1$ 的虚根，则正整数 $n$ 的最小值是。

第 7 题

将 $6$ 个不同的科研项目分配给 $4$ 个不同的研究所，要求每个研究所至少负责 $1$ 个项目，则项目 $A$ 和项目 $B$ 被分配到同一研究所的概率是。

第 8 题

设 $a, b, c$ 都是整数。如果二次方程

a x^{2} + b x + c = 0

有两个不同实根，且都在区间 $(\frac{2}{5}, \frac{5}{6})$ 内，那么正整数 $a$ 的最小值是。

第 9 题

正实数 $a, b, c, d$ 满足

(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (b^{2} + c^{2} + d^{2}) = 36, (a + d) b^{2} + c^{2} = 6.

则 $a^{2} d$ 的最大值是。

第 10 题

等式

⌊ a ⌊ an ⌋⌋ - ⌊ an ⌋ = n - 1

对一切正整数 $n$ 成立，则所有满足条件的实数 $a$ 的值为。

第 11 题

已知 $O$ 为原点，矩形 $O A BC$ 的三个顶点 $A, B, C$ 均在椭圆

\frac{x ^{2}}{9} + y^{2} = 1

上，则矩形 $O A BC$ 的面积为。