2022 年浙江预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

设 $α, β \in (0, π /2)$ ，且

sin^{2} α + sin^{2} β - \frac{6}{2} sin α - \frac{10}{2} sin β + 1 = 0,

那么 $α + β =$ 。

在棱长为 $1$ 的正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 是 $C C_{1}$ 的中点，则 $D$ 到过 $D_{1}, E, F$ 三点的平面的距离为。

若单位复数 $a, b$ 满足

a \overline{b} + \overline{a} b = 3,

则 $∣ a - b ∣ =$ 。

已知数列 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = n / (n^{2} - 1)$ （ $n \geq 2$ ），则

k = 1 \sum n a_{1} a_{2} \dots a_{k} = .

掷一枚不均匀的硬币 $5$ 次。若恰有 $1$ 次正面与恰有 $2$ 次正面的概率相等且不为零，则恰好出现 $3$ 次正面的概率为。

平面向量 $a, b, c$ 满足

∣ a ∣ = 1, a \cdot b = b \cdot c = 1, ∣ a - b + c ∣ \leq 22,

则 $a \cdot c$ 的最大值为。

设 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{6}$ 是 $1, 2, \dots, 6$ 的任意排列。若任意相邻三数之和都不能被 $3$ 整除，则这样的排列有个。

已知 $△ O A B$ 的顶点坐标为

O = (0, 0), A = (4, 43), B = (8, 0),

它的内切圆圆心为 $I$ 。设圆 $C$ 经过 $A, B$ 两点，且与圆 $I$ 交于 $P, Q$ 两点。若分别过 $P, Q$ 点所作两圆的切线垂直，则圆 $C$ 的半径为。

把与 $143$ 互质的全体正整数按从小到大排列成一个数列，则该数列的第 $2022$ 项为。

已知 $p (x)$ 为 $5$ 次多项式。若 $x = 0$ 为 $p (x) + 1 = 0$ 的三重根， $x = 1$ 为 $p (x) - 1 = 0$ 的三重根，则 $p (x)$ 的表达式为。

已知椭圆

C_{1} : \frac{x ^{2}}{24} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (0 < b < 26)

的右焦点 $F_{1}$ 与抛物线 $C_{2} : y^{2} = 4 p x$ （ $p \in N_{+}$ ）的焦点重合。过 $F_{1}$ 且斜率为正整数的直线 $l$ 交 $C_{1}$ 于 $A, B$ ，交 $C_{2}$ 于 $C, D$ 。若

13∣ A B ∣ = 6 ∣ C D ∣,

求 $b, p$ 的值。

设 $X = {1, 2, \dots, 10}$ ，映射 $f : X \to X$ 满足

f \circ f = I_{X},

其中 $I_{X}$ 为 $X$ 上的恒等映射，并且

∣ f (i) - i ∣ \leq 2 (i \in X) .

求映射 $f$ 的数目。

设 $m$ 为大于 $1$ 的正整数，函数

f (x) = (\frac{2 x}{x ^{2} + 1})^{m} .

（1）当 $x \in [0, (m - 1) / m]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值；

（2）证明：对于任意 $x \in [0, (m - 1) / m]$ ，有 $e^{1/ (2 m)} f (x) < 1$ 。

本题整理中，不计分。

设 $f : N_{+} \to N_{+}$ 满足：对于任意 $m, n \in N_{+}$ ，

m + n ∣ f (m) + f (n) .

（1）若 $f$ 为整系数多项式，证明 $f$ 的任意非零项的次数均为奇数；

（2）构造满足条件的非多项式映射 $f$ 。