2025 年云南预赛

按原题序浏览；已整理 13/13 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

设集合

A = {x \in R ∣ x^{2} + m x + 1 = 0},

且

{x \in R ∣ x > 0} \cap A = \emptyset .

则实数 $m$ 的取值范围是。

已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足

∣ z_{1} ∣ = 2, ∣ z_{2} ∣ = 3, 3 z_{1} - 2 z_{2} = 5 + i,

则 $z_{1} z_{2}$ 的值为。

设函数

f (x) = min {6 + lo g_{\frac{1}{9}} x, lo g_{3} x},

其中 $min {a, b}$ 表示 $a, b$ 中的较小者。则 $f (x)$ 的最大值为。

设 $A B$ 为抛物线 $y = x^{2}$ 上的定长动弦，且 $∣ A B ∣ = a$ （ $a \geq 1$ ）。则 $A B$ 的中点 $M$ 到 $x$ 轴的最短距离为。

(x + 1 + \frac{1}{x})^{7}

的展开式中常数项等于。

四面体 $A BC D$ 中，

A B = A C = A D = BC = 1, B D = 3, C D = 2 .

则 $A D$ 与 $BC$ 所成的角为。

从 $1$ 至 $169$ 的自然数中任取 $3$ 个数，构成以整数为公比的严格递增等比数列，则共有种取法。

若正整数 $x, y, z$ 满足方程组

{x^{3} - y^{3} - z^{3} = 3 x yz, x^{2} = 11 (y + z),

则 $x yz$ 的最大值为。

已知数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} = m, a_{2} = m + 1,

a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} + a_{n} = n - 20 (n \in N^{*}),

其中 $m$ 是给定的实数。求 $n$ 的值，使得 $a_{n}$ 的值最小。

设函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且对任意的 $x \in R$ ，都有

f (x + 2) \geq f (x) + 2, f (x + 3) \leq f (x) + 3.

若 $f (3) = 2025$ ，求 $f (2025)$ 。

已知椭圆

L : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

的短轴长为 $2$ ，且过点

A (- 1, \frac{2}{2}) .

(1)
求椭圆 $L$ 的标准方程；
(2)
过点 $(0, 2)$ 且不与 $x$ 轴垂直的直线 $l$ 与椭圆 $L$ 相交于不同的两点 $M, N$ ， $O$ 为坐标原点。求 $△ MON$ 面积的最大值。

如图，在圆内接四边形 $A BC D$ 中，已知

A B = BC, A D = 3 D C .

$E$ 为对角线 $B D$ 上一点，满足 $D E = 2 EB$ 。 $F$ 为线段 $A E$ 上一点，满足

∠ A D F = ∠ B D F .

设 $P$ 为线段 $A B$ 与直线 $D F$ 的交点。若

∠ A BF + ∠ CB D = ∠ D BF,

求证： $D P ⊥ A B$ 。

已知非负实数 $a, b, c$ 满足

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1.

求证：

1 \leq \frac{a}{1 + b c} + \frac{b}{1 + c a} + \frac{c}{1 + ab} \leq 2 .