培玉 · 一试

2021 年山东预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

设集合 $A = {a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}}$ ，所有三元子集的三数之积构成集合 $B = {24, 30, 40, 60}$ ，则 $A =$ 。

第 2 题

已知直角三角形 $A BC$ 的三个顶点 $A, B, C$ 均在抛物线 $y = x^{2}$ 上，并且斜边 $A B$ 平行于 $x$ 轴，则斜边 $A B$ 上的高 $C D$ 等于。

第 3 题

若非零实数 $a, b, c$ 分别是一等差数列的第 $m, n, p$ 项，也是一等比数列的第 $m, n, p$ 项，则

a^{b - c} b^{c - a} c^{a - b}

的值是。

第 4 题

过椭圆

\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1

上点 $P$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点弦所在直线与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $E, F$ ，则 $△ EOF$ 面积的最小值是。

第 5 题

已知直三棱柱 $A BC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面为直角三角形， $∠ A CB = 9 0^{\circ}$ ， $A C = 6$ ， $BC = C C_{1} = 2$ 。 $P$ 是 $B C_{1}$ 上一动点，则 $CP + P A_{1}$ 的最小值是。

第 6 题

将两个 $a$ 和两个 $b$ 共 $4$ 个字母填入 $4 \times 4$ 的方格表内，每格至多填一个字母，则相同字母既不同行又不同列的填法种数是。

第 7 题

不等式

lo g_{14} (x + 3 x + 6 x)^{6} \geq lo g_{2} x

的解集是。

第 8 题

设 $x, y, z, u, v \in R_{+}$ ，则

f = \frac{x y + yz + z u + uv}{2 x ^{2} + y ^{2} + 2 z ^{2} + u ^{2} + 2 v ^{2}}

的最大值是。

第 9 题

四面体 $O A BC$ 中， $∠ A OB = 4 5^{\circ}$ ， $∠ A OC = ∠ BOC = 3 0^{\circ}$ ，则二面角 $A - OC - B$ 的平面角 $α$ 的余弦值是。

第 10 题

本题整理中，不计分。

第 11 题

数列 ${a_{n}}$ 为：

1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 4, \dots

即先取 $a_{1} = 1$ ，接着复制该项粘贴在后面作为 $a_{2}$ ，并添加后继数 $2$ 作为 $a_{3}$ ；再复制所有项 $1, 1, 2$ 并粘贴在后面作为 $a_{4}, a_{5}, a_{6}$ ，并添加后继数 $3$ 作为 $a_{7}$ ；依次继续下去，则 $a_{2021} =$ 。

第 12 题

本题整理中，不计分。

第 13 题

求正实数 $a$ 的取值范围，使得关于 $x$ 的不等式

lo g_{a} x \leq x \leq a^{x}

在区间 $(0, + \infty)$ 上恒成立；并指出当 $a$ 为何值时，函数 $y = a^{x}$ 与 $y = lo g_{a} x$ 的图象有交点。

第 14 题

设 $P$ 为椭圆

C : \frac{x ^{2}}{5} + y^{2} = 1

上第一象限内的任一点， $F_{1}, F_{2}$ 为左、右焦点，直线 $P F_{1}, P F_{2}$ 分别交 $C$ 于点 $M, N$ 。若

P F_{1} = λ_{1} F_{1} M, P F_{2} = λ_{2} F_{2} N,

求点 $P$ 的坐标，使得直线 $MN$ 的斜率等于 $- \frac{1}{9}$ 。

第 15 题

求最小常数 $λ$ ，使不等式

x y (x^{2} + y^{2}) + yz (y^{2} + z^{2}) + z x (z^{2} + x^{2}) \leq λ (x + y + z)^{4}

对所有非负实数 $x, y, z$ 都成立。

第 16 题

如果任取 $1, 2, \dots, 50$ 的一组数中，总有两个不同数的乘积是这两个数和的整数倍，问最少要取多少个数？