2008 年湖北预赛

已知集合 $A=\{y\mid y=x^2+2x-3\}$，$B=\left\{y\mid y=x+\frac{1}{x},x<0\right\}$，则 $A\cap B=\underline{}$。

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\frac{1}{2}$，$a_{n+1}=\frac{1+a_n}{1-a_n}$（$n\ge 1$），则 $a_{2008}=\underline{}$。

函数 $y={\sin }^{4}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{4}x$ 的最小值为 $\underline{}$。

已知正三棱锥 $P$-$ABC$ 的底面正三角形边长为 $1$，其外接球的球心 $O$ 满足 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$，则这个正三棱锥的体积为 $\underline{}$。

设 $H$ 为锐角三角形 $ABC$ 的垂心，已知 $\angle A=30^{\circ }$，$BC=3$，则 $AH=\underline{}$。

在等腰梯形 $ABCD$ 中，$AB\Vert CD$，且 $AB>CD$。设以 $A,B$ 为焦点且过点 $D$ 的双曲线的离心率为 $e_1$，以 $C,D$ 为焦点且过点 $A$ 的椭圆的离心率为 $e_2$，则 $e_1{e}_2=\underline{}$。

设 $(x^2+2x-2{)}^6=a_0+a_1(x+2)+a_2(x+2{)}^2+\cdots +a_{12}(x+2{)}^{12}$，其中 $a_i$（$i=0,1,2,\dots ,12$）为实常数，则 $a_0+a_1+2a_2+3a_3+\cdots +12a_{12}=\underline{}$。

有六张分别写有数字 $1,2,3,4,5,6$ 的卡片，每次从中抽取一张，记下上面的数字，然后放回。这样取了 $4$ 次，则抽到的最大数与最小数的差等于 $5$ 的概率为 $\underline{}$。

设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则

已知三个正数 $a,b,c$ 满足 $a\le b+c\le 3a$，$3b^2\le a(a+c)\le 5b^2$，则 $\frac{b-2c}{a}$ 的最小值是 $\underline{}$。

设 $P$ 为椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 上的一个动点，过点 $P$ 作椭圆的切线与圆 $O:x^2+y^2=12$ 相交于 $M,N$ 两点，圆 $O$ 在 $M,N$ 两点处的切线相交于点 $Q$。

1. (1)

   求点 $Q$ 的轨迹方程；

2. (2)

   若 $P$ 是第一象限的点，求 $△OPQ$ 面积的最大值。

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,a_2=2$，且

1. (1)

   求 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 之间的递推关系式 $a_{n+1}=f(a_n)$；

2. (2)

   证明：$63<a_{2008}<78$。

如果正整数 $n$ 可以写成 $a^b$（其中 $a,b\in \mathbb{N}$，$a\ge 2,b\ge 2$）的形式，则称 $n$ 为“好数”。在与 $2$ 的正整数次幂相邻的正整数中，试找出所有的“好数”。