积分的应用 · 学习路线

先求直线与横轴的交点。可以用两个三角形复核，也可以把高度写成绝对值积分。

直线与 $x$ 轴交于 $x=1$。在 $[0,1]$ 上几何高度为 $1-x$，在 $[1,4]$ 上为 $x-1$，所以总面积为 ${\int }_0^1(1-x)dx+{\int }_1^4(x-1)dx=1/2+9/2=5$。几何上，两块分别是底高为 $1,1$ 及 $3,3$ 的直角三角形，面积相加也为 $5$。有向积分 ${\int }_0^4(x-1)dx=4$ 是右侧面积减左侧面积，与所求不同。

面积用非负高度；与横轴相交时要分段，不能把负的积分值直接加进几何面积。

先联立两曲线求左右边界。把高度配方，观察它在哪个区间非负。

联立 $x^2=2x+3$，得 $(x-3)(x+1)=0$，故边界为 $x=-1$ 和 $x=3$。两曲线的差为 $2x+3-x^2=4-(x-1{)}^2$，在 $[-1,3]$ 上非负、内部严格正，所以上方是直线。面积为 ${\int }_{-1}^3(2x+3-x^2)dx$。令 $u=x-1$，上下限变为 $-2,2$，得到 ${\int }_{-2}^2(4-u^2)du=16-16/3=32/3$。这已包含交点间的整个有界区域；区间外的曲线延伸不属于该围域。

两曲线围成面积，先解全部交点，确定有界区间，再用上方函数减下方函数。

先找分母为零的点。只算从 $1+\epsilon$ 到 $2$ 的积分，观察 $\epsilon$ 趋于零时的结果。

被积函数在区间内部 $x=1$ 无定义且无界，所以不属于通常的有界黎曼可积情形，不能跨奇点套端点公式。作为反常积分，必须把 $x=1$ 两侧分开，并分别要求有限极限。右侧有 ${\int }_{1+\epsilon }^2(x-1{)}^{-2}dx=[-1/(x-1){]}_{1+\epsilon }^2=1/\epsilon -1\to +\infty$。仅此已足以证明反常积分发散；左侧也同样发散。形式上代入总区间端点会得到 $-1-1/3=-4/3$，但原函数在奇点处不满足公式的前提，这个有限数没有积分意义。

计算前先检查整个区间的奇点；取绝对值、对称抵消或形式原函数都不能修复发散。

绝对值在 $x=t$ 处分段。先得到面积关于 $t$ 的式子，再在参数的实际范围内研究它。

由 $0<t\le 1<3$，切换点 $x=t$ 始终在积分区间内。故 $A(t)={\int }_0^t(t-x)dx+{\int }_t^3(x-t)dx=t^2/2+(3-t{)}^2/2=t^2-3t+9/2$。在 $(0,1]$ 上 $A^{\prime }(t)=2t-3<0$，所以 $A$ 严格递减。最小值在合法端点 $t=1$ 取得，为 $5/2$；当 $t\to 0^{+}$ 时 $A(t)\to 9/2$，但对每个合法 $t$，有 $A(t)-9/2=t(t-3)<0$，故不存在最大值，只有上确界 $9/2$。函数连续且严格递减；对任意 $5/2<y<9/2$，可先取充分小的 $t_0>0$ 使 $A(t_0)>y$，再在 $[t_0,1]$ 上用介值定理取得 $y$。因此完整值域为 $[5/2,9/2)$。无约束顶点 $t=3/2$ 不属于本题参数范围。

算出面积公式后还须回到参数定义域，分别说明最小值、上确界及中间值是否可达。