三角函数初步 · 学习路线

先用平方和为一求出正弦的两个候选，再用角的范围判断符号。最后才求正切。

由 ${\sin }^2\theta =1-25/169=144/169$，先得到 $\sin \theta =\pm 12/13$。因为 $\pi /2<\theta <\pi$，角在第二象限，故保留正支 $\sin \theta =12/13$。又 $\cos \theta =-5/13\ne 0$，所以 $\tan \theta =(12/13)/(-5/13)=-12/5$。单位圆点 $(-5/13,12/13)$ 的坐标平方和为一，且确实位于第二象限，条件可实现。

平方恒等式给出候选的大小，象限负责筛选符号；求商前还要检查分母。

上一题的 ${\sin }^2\theta =144/169$ 仍成立。重新读范围，决定这次应留下哪一个正弦候选。

平方恒等式仍给出 $\sin \theta =\pm 12/13$。新的范围 $\pi <\theta <3\pi /2$ 位于第三象限，因此 $\sin \theta =-12/13$。余弦仍为非零的 $-5/13$，故 $\tan \theta =(-12/13)/(-5/13)=12/5$。点 $(-5/13,-12/13)$ 在单位圆的第三象限，说明新的条件也有解。两题的平方计算相同，角的范围不同使最后的符号不同。

条件改变后，保留能继续使用的计算，重新检查依赖该条件的分支选择。

余弦为负只说明单位圆点在左半平面。范围跨过 $\pi$ 后，纵坐标的符号还唯一吗？

由平方恒等式，正弦只能是 $12/13$ 或 $-12/13$。这一步说明没有其他候选，还须证明两支都可取到。两个点 $(-5/13,12/13)$、$(-5/13,-12/13)$ 的坐标平方和均为 $25/169+144/169=1$，分别在第二、第三象限；对应角都满足 $\pi /2<\theta <3\pi /2$。因此两个正弦值均可实现。范围中的 $\theta =\pi$ 本身虽被允许，却因 $\cos \pi =-1\ne -5/13$ 不满足方程。

同一个已知值配上更宽的范围，可能保留多支。既要说明没有漏掉其他候选，也要证明留下的候选都能出现。

可先令 $t=2x$，同步写出 $t$ 的区间。列出余弦为零的全部周期分支，筛选后再换回 $x$。

令 $t=2x$。因为乘数 $2$ 为正，原区间等价于 $t\in [\pi /2,5\pi /2)$，开闭端点不变。$\cos t=0$ 的全部实数解为 $t=\pi /2+k\pi$，其中 $k\in \mathbb{Z}$。代入区间得 $0\le k<2$，故只有 $k=0,1$。换回得到 $x=\pi /4$ 或 $x=3\pi /4$。两者代入原式分别给 $\cos (\pi /2)=0$、$\cos (3\pi /2)=0$，且均在原区间。下一个候选 $x=5\pi /4$ 虽使余弦为零，却是被排除的右端点。

换成倍角方程后，仍先列完整分支，再同步用区间筛选；最后代回原式，并逐个核对端点。