2018 年辽宁预赛

设 $A=[-2,4)$，$B=\{x\mid x^2-ax-4\le 0\}$。若 $B\subseteq A$，则实数 $a$ 的取值范围为（ ）。

1. (A)

   $[-3,0)$

2. (B)

   $[-2,0)$

3. (C)

   $[0,2)$

4. (D)

   $[0,3)$

方程 $a{x}^2+b|x|+c=0$（$a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0$）在复数集内不同的根的个数为（ ）。

1. (A)

   $2$ 或 $4$ 个

2. (B)

   至多 $4$ 个

3. (C)

   至多 $6$ 个

4. (D)

   可能为 $8$ 个

已知点 $P,Q$ 在 $△ABC$ 内，且

则 $\frac{|PQ|}{|AB|}$ 等于（ ）。

1. (A)

   $\frac{1}{30}$

2. (B)

   $\frac{1}{31}$

3. (C)

   $\frac{1}{32}$

4. (D)

   $\frac{1}{33}$

方程

的整数解 $(x,y)$ 的个数为（ ）。

1. (A)

   $5$

2. (B)

   $6$

3. (C)

   $7$

4. (D)

   $8$

设三位数 $n=\overline{abc}$，若以 $a,b,c$ 为三边的长可构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有（ ）个。

1. (A)

   $45$

2. (B)

   $81$

3. (C)

   $165$

4. (D)

   $216$

设 $a,b$ 均为实数，复数

的模长相等，且 $z_1\overline{z_2}$ 为纯虚数，则 $a+b=\underline{}$。

在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$。若 $a^2+b^2=2019c^2$，则

已知 $A,B$ 分别为

上的点，则 $|AB|$ 的最小值为 $\underline{}$。

若正实数 $x,y$ 满足

则 $y$ 的最大值为 $\underline{}$。

四面体 $ABCD$ 中，已知

则异面直线 $AC$ 与 $BD$ 所成角的正弦值是 $\underline{}$。

（20 分）已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1,a_2=\frac{1}{4}$，且

1. (1)

   求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

2. (2)

   求证：对一切 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，有

   $$\sum _{k=1}^n{a}_k^2<\frac{7}{6}。$$

（20 分）如图，圆 $O_1$、圆 $O_2$ 与圆 $O_3$ 相交于点 $P$，圆 $O_1$ 和圆 $O_2$ 的另一个交点为 $A$。经过点 $A$ 的一条直线分别交圆 $O_1$、圆 $O_2$ 于点 $B,C$，$AP$ 的延长线交圆 $O_3$ 于点 $D$。作 $DE\Vert BC$ 交圆 $O_3$ 于点 $E$，再作 $EM,EN$ 分别切圆 $O_1$、圆 $O_2$ 于点 $M,N$。求证：