培玉 · 一试

2018 年河南预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

（8 分）已知函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x$ ，若 $f (x)$ 的定义域为 $[m, n]$ （ $m < n$ ），值域为 $[km, kn]$ （ $k > 1$ ），则 $n$ 的值为。

第 2 题

（8 分）一个棱长为 $6$ 的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任意转动，则小正四面体棱长的最大值为。

第 3 题

已知 $i$ 为虚数单位，则在 $(3 + i)^{10}$ 的展开式中，所有奇数项的和是。

第 4 题

已知点 $P$ 在 $△ A BC$ 内，且满足

A P = \frac{1}{3} A B + \frac{1}{4} A C .

设 $△ PBC$ 、 $△ PC A$ 、 $△ P A B$ 的面积依次为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，则

S_{1} : S_{2} : S_{3} =

第 5 题

（8 分）已知 $a, b, c$ 均为正数，则

min {\frac{1}{a}, \frac{2}{b}, \frac{4}{c}, 3 ab c}

的最大值为。

第 6 题

若

(2 x + 4)^{2 n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2 n} x^{2 n} (n \in N^{*}),

则 $a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2 n}$ 被 $3$ 除的余数是。

第 7 题

设经过定点 $M (a, 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 相交于 $P, Q$ 两点，若

\frac{1}{∣ PM ∣ ^{2}} + \frac{1}{∣ QM ∣ ^{2}}

为常数，则 $a$ 的值为。

第 8 题

（8 分）将圆的一组 $n$ 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录 $k$ （ $k \leq n$ ）个点的颜色，称为该圆的一个“ $k$ 阶色序”，当且仅当两个 $k$ 阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的 $k$ 阶色序。若某圆的任意两个“ $3$ 阶色序”均不相同，则该圆中等分点的个数最多可有个。

第 9 题

已知

cos (α + β) = cos α + cos β,

试求 $cos α$ 的最大值。

第 10 题

已知方程

17 x^{2} - 16 x y + 4 y^{2} - 34 x + 16 y + 13 = 0

在 $x O y$ 平面上表示一椭圆，试求它的对称中心及对称轴。

第 11 题

在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1}, a_{2}$ 是给定的非零整数，且

a_{n + 2} = ∣ a_{n + 1} - a_{n} ∣.

(1)
若 $a_{16} = 4, a_{17} = 1$ ，求 $a_{2018}$ ；
(2)
证明：从 ${a_{n}}$ 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数列。

第 12 题

已知 $△ A BC$ 的三边长分别为 $a, b, c$ ，且满足

ab c = 2 (a - 1) (b - 1) (c - 1),

是否存在边长均为整数的 $△ A BC$ ？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由。