2009 年湖北预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知复数 $m$ 满足

m + \frac{1}{m} = 1,

则

m^{2008} + \frac{1}{m ^{2009}} = .

设

f (x) = \frac{1}{2} cos^{2} x + \frac{3}{2} sin x cos x + 2, x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}],

则 $f (x)$ 的值域为。

设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 。若 $S_{15} > 0$ ， $S_{16} < 0$ ，则

\frac{S _{1}}{a _{1}}, \frac{S _{2}}{a _{2}}, \dots, \frac{S _{15}}{a _{15}}

中最大的是。

已知 $O$ 是锐角三角形 $A BC$ 的外心， $A B = 6$ ， $A C = 10$ 。若

A O = x A B + y A C, 2 x + 10 y = 5,

则 $cos ∠ B A C =$ 。

已知正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ， $O$ 为底面 $A BC D$ 的中心， $M, N$ 分别是棱 $A_{1} D_{1}$ 和 $C C_{1}$ 的中点，则四面体 $O - MN B_{1}$ 的体积为。

设

A \cup B \cup C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A \cap B = {1, 2},

且 ${1, 2, 3, 4} \subseteq B \cup C$ ，则符合条件的 $(A, B, C)$ 共有组。（注： $A, B, C$ 顺序不同视为不同组。）

设

y = sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + csc x,

则 $∣ y ∣$ 的最小值为。

设 $p$ 是给定的正偶数，集合

A_{p} = {x ∣ 2^{p} < x < 2^{p + 1}, x = 3 m, m \in N}

的所有元素的和是。

（14分）设数列 ${a_{n}}$ （ $n \geq 0$ ）满足 $a_{1} = 2$ ，且对 $m, n \in N$ 、 $m \geq n$ ，有

a_{m + n} + a_{m - n} - m + n = \frac{1}{2} (a_{2 m} + a_{2 n}) .

(1)
证明：对一切 $n \in N$ ，有 $a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n} + 2$ ；
(2)
证明：
$\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + \dots + \frac{1}{a _{2009}} < 1.$

（15分）求不定方程

x_{1} + x_{2} + x_{3} + 3 x_{4} + 3 x_{5} + 5 x_{6} = 21

的正整数解的组数。

（15分）已知抛物线 $C : y = \frac{1}{2} x^{2}$ 与直线 $l : y = k x - 1$ 没有公共点。设点 $P$ 为直线 $l$ 上的动点，过 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线， $A, B$ 为切点。

(1)
证明：直线 $A B$ 恒过定点 $Q$ ；
(2)
若点 $P$ 与（1）中的定点 $Q$ 的连线交抛物线 $C$ 于 $M, N$ 两点，证明：
$\frac{∣ PM ∣}{∣ PN ∣} = \frac{∣ QM ∣}{∣ QN ∣} .$

（20分）设 $a, b, c, d$ 为正实数，且 $a + b + c + d = 4$ 。证明：

\frac{a ^{2}}{b} + \frac{b ^{2}}{c} + \frac{c ^{2}}{d} + \frac{d ^{2}}{a} \geq 4 + (a - b)^{2} .