2013 年安徽预赛

函数 $f(x)=|x+1|+|x-1|+\sqrt{4-x^2}$ 的值域为。

方程 $\sin (2013\pi x)=x^{2013}$ 的实根个数为。

化简 $\sin 12^{\circ }\sin 48^{\circ }\sin 54^{\circ }=\underline{}$（用数字作答）。

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a_2=1$，$a_n=\sqrt{3}{a}_{n-1}-a_{n-2}(n\ge 3)$，则 $a_{2013}=\underline{}$。

设 $△ABC$ 的外接圆圆心 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$，则 $\cos \angle BAC=\underline{}$。

设复数 $z=x+yi$ 满足 $\frac{z+1}{z+2}$ 的实部与虚部之比为 $\sqrt{3}$，其中 $i$ 是虚数单位，$x,y\in \mathbb{R}$，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为。

设 $(1+x+x^2{)}^{150}=\sum _{k=0}^{300}{c}_k{x}^k$，其中 $c_0,\dots ,c_{300}$ 是常数，则 $\sum _{k=0}^{100}{c}_{3k}=\underline{}$。

随机选取正 $11$ 边形的 $3$ 个不同顶点，它们构成锐角三角形的概率为。

设正三棱锥的底面边长为 $1$，侧棱长为 $2$，求其体积和内切球半径。

求所有函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，使得对任意 $x,y$，都有 $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$，且 $x^2-|x{|}^{1/2}\le f(x)\le x^2+|x{|}^{1/2}$。

设 $a,b,c$ 是不全为 $0$ 的实数，求 $F=\frac{ab-bc+c^2}{a^2+2b^2+3c^2}$ 的取值范围。$a,b,c$ 分别满足什么条件时，$F$ 取最大值与最小值？

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_2=2$，$a_n=\frac{(1+a_{n-1}{)}^2}{a_{n-2}}(n\ge 3)$。

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 求证：对任意正整数 $k$，$\sqrt{a_{2k-1}}$ 和 $\sqrt{\frac{a_{2k}}{2}}$ 都是整数。