培玉 · 一试

2016 年河南预赛

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第 1 题

若实数 $x, y$ 满足 $x^{2} - 2 x y + 5 y^{2} = 4$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的取值范围是。

第 2 题

甲乙两人各自独立地抛掷一枚均匀硬币，甲抛掷 $10$ 次，乙抛掷 $11$ 次，则乙出现正面向上的次数比甲出现正面向上的次数多的概率为。

第 3 题

已知 $△ A BC$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $BC = 7$ ， $O$ 是 $△ A BC$ 的外心，且 $A O = λ A B + μ A C$ ，则 $λ + μ$ 的值为。

第 4 题

函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} b x^{2} + c x + d$ 在 $(0, 2)$ 内既有极大值又有极小值，则 $c^{2} + 2 b c + 4 c$ 的取值范围是。

第 5 题

集合 ${1, 2, \dots, 2016}$ 的元素和为奇数的非空子集的个数为。

第 6 题

定义数列 ${a_{n}}$ ： $a_{n}$ 为 $1 + 2 + 3 + \dots + n$ 的末位数字， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项之和，则 $S_{2016} =$ 。

第 7 题

已知双曲线 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （ $a > 0, b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线交双曲线的右支于点 $P$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 4 5^{\circ}$ ，则该双曲线的离心率为。

第 8 题

过正四面体 $A BC D$ 的顶点 $A$ 作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面 $BC D$ 所成的角为 $7 5^{\circ}$ ，这样的截面共可作出个。

第 9 题

已知实数 $x, y$ 满足 $2^{x} + 3^{y} = 4^{x} + 9^{y}$ ，试求 $U = 8^{x} + 2 7^{y}$ 的取值范围。

第 10 题

如图， $A P, A Q$ 为 $⊙ O$ 的切线， $P, Q$ 是切点， $M$ 为线段 $PQ$ 的中点， $A K L$ 为一条割线，直线 $l ∥ A Q$ ， $l$ 与 $Q K, QP, Q L$ 分别交于 $X, Y, Z$ 三点。求证：

(1)
$P M^{2} = K M \cdot M L$ ；
(2)
$X Y = Y Z$ 。

第 11 题

已知 $A, B$ 是椭圆 $C : \frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ 的左、右顶点，直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M, N$ 两点，记 $A M$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $BN$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} : k_{2} = 1 : 9$ 。

(1)
求证：直线 $l$ 过定点；
(2)
记 $△ A MN$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ BMN$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $S_{1} - S_{2}$ 的最大值。

第 12 题

数列 ${a_{n}}$ 定义为 $a_{1} = 1, a_{2} = 4, a_{n} = a_{n - 1} a_{n + 1} + 1 (n \geq 2)$ 。求证：

(1)
数列 ${a_{n}}$ 为整数列；
(2)
$2 a_{n} a_{n + 1} + 1 (n \geq 1)$ 是完全平方数。