2025 年贵州预赛

存在正整数对 $(a,b)$ 满足

的正整数 $k$ 的个数为。（其中 $[a,b]$ 表示正整数 $a$ 与 $b$ 的最小公倍数）

已知集合 $A=\{1,2,3,\cdots ,m\}$（$m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 且 $m>16$）的任意一个 $16$ 划分 $A_1,A_2,A_3,\cdots ,A_{16}$，一定存在某个集合 $A_i$（$i\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 且 $1\le i\le 16$），在 $A_i$ 中有两个元素 $a,b$ 满足

则 $m$ 的最小值为。

已知

则所有满足等式

的正整数 $n$ 的和为。

计算：

已知数列 $\{a_n\}$ 满足

则 $[a_{2025}]=$。

二元函数

的最小值和最大值的和为。

一个 $1\times 2025$ 的方格表，从左到右依次标上 $1,2,3,\cdots ,2025$。现用红、黄、 蓝三种颜色按照如下要求对各小方格分别染色：（1）奇数格可以染红、黄、蓝三种颜色中 任意一种颜色；（2）偶数格只能染红、蓝两种颜色中的一种颜色。且要求相邻的两个格子 不能同色。则该 $1\times 2025$ 的方格表的染色方法共有种。

在正三棱锥 $P-ABC$ 中，$AB=1,AP=2$，过 $AB$ 的平面 $\alpha$ 将其体积平分。 则棱 $PC$ 与平面 $\alpha$ 所成角的余弦值为。

对正整数 $n$，用 $S(n)$ 表示 $n$ 的各位数码之和，用 $\phi (n)$ 表示小于 $n$ 且互质的正整数个数。若 $n$ 为三位数，且满足 $n=34S(n)$，则 $\phi (n)$ 的最大值 为。

已知斐波那契数列 $\{F_n\}$：

则

复数 $z_1,z_2,z_3,z_4,z_5$ 满足

求 $|z_5|$ 的最大值。

设 $△ABC$ 是正三角形，$D$ 是边 $BC$ 上一点，$P,Q$ 分别是 $△ABD,△ACD$ 的外心，$X,Y$ 分别是 $△ABD,△ACD$ 的内心。求证：

对任意满足 $1\le x\le y\le z\le 4$ 的实数 $x,y,z$，记

求 $f$ 的最小值。

设 $p$ 是素数且 $(a,p)=1$，求证：存在无限多个正整数 $n$，使得

将若干个互异的正整数排在一个圆周上，使任何相邻数之和小于 $2025$。问：圆周上 最多有多少个数？