2017 年陕西预赛

已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=n^2-1$（$n\in {\mathbb{N}}_{+}$），则

1. (A)

   $40$

2. (B)

   $44$

3. (C)

   $45$

4. (D)

   $49$

设 $n$ 是正整数，以下各组数 $a,b$ 中，使 $\frac{b}{a}$ 为既约分数的是（ ）。

1. (A)

   $a=n+1,b=2n-1$

2. (B)

   $a=2n-1,b=5n+2$

3. (C)

   $a=n+1,b=3n+1$

4. (D)

   $a=3n+1,b=5n+2$

在空间直角坐标系中，$△ABC$ 的三个顶点坐标分别为 $A(3,4,1)$、$B(0,4,5)$、$C(5,2,0)$，则 $\tan \frac{A}{2}$ 的值是（ ）。

1. (A)

   $\sqrt{5}$

2. (B)

   $\frac{\sqrt{5}}{5}$

3. (C)

   $\sqrt{6}$

4. (D)

   $\frac{\sqrt{6}}{6}$

如图，已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），圆 $O:x^2+y^2=a^2$ 与 $y$ 轴正半轴交于点 $B$。过点 $B$ 的直线与椭圆 $E$ 相切，且与圆 $O$ 交于另一点 $A$。若 $\angle AOB=60^{\circ }$，则椭圆 $E$ 的离心率为（ ）。

1. (A)

   $\frac{1}{2}$

2. (B)

   $\frac{1}{3}$

3. (C)

   $\frac{\sqrt{2}}{2}$

4. (D)

   $\frac{\sqrt{3}}{3}$

已知函数

则 $y=f(x)$（$x\in \mathbb{R}$）的图象上关于坐标原点 $O$ 对称的点共有（ ）。

1. (A)

   $0$ 对

2. (B)

   $1$ 对

3. (C)

   $2$ 对

4. (D)

   $3$ 对

如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$P,Q,R$ 分别是棱 $AB,AD,A{A}_1$ 的中点。以 $△PQR$ 为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的表面上，则这个直三棱柱的体积为（ ）。

1. (A)

   $\frac{3}{8}$

2. (B)

   $\frac{\sqrt{3}}{8}$

3. (C)

   $\frac{3}{16}$

4. (D)

   $\frac{\sqrt{3}}{16}$

设集合

则集合 $A\cap B$ 中元素的个数为（ ）。

1. (A)

   $1$

2. (B)

   $2$

3. (C)

   $3$

4. (D)

   $4$

设 $x\ge y>0$，若存在实数 $a,b$ 满足 $0\le a\le x$，$0\le b\le y$，且

则 $\frac{x}{y}$ 的最大值为（ ）。

1. (A)

   $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

2. (B)

   $\sqrt{2}$

3. (C)

   $\frac{\sqrt{6}}{2}$

4. (D)

   $1$

设函数 $f(x)=\frac{ax}{2x+3}$，若 $f[f(x)]=x$ 恒成立，则实数 $a$ 的值为 $\underline{}$。

袋中装有 $2$ 个红球、$3$ 个白球、$4$ 个黄球，从中任取 $4$ 个球，则其中三种颜色的球都有的概率是 $\underline{}$。

设 $a,b,c$ 是互不相同的正整数，则 $\frac{abc}{a+b+c}$ 的最小值为 $\underline{}$。

设方程 $xy=6(x-y)$ 的全部正整数解为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_n,y_n)$，则