2025 年江西预赛

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第 1 题

若圆

C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 6

与圆

C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = k

有唯一交点，则 $k =$ 。

设复数 $z$ 满足

(1 + 2 i) z = ∣3 - 4 i ∣,

则 $(1 + \overline{z})^{3}$ 的值为。

半径为 $6$ 的大球内部装四个半径相等的小球，则小球的最大半径为。

函数

f (x) = cos (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0),

$x = π /4$ 是函数的一个零点， $x = - π /4$ 是函数图像的一条对称轴， $(π /12, π /9)$ 是 $f (x)$ 的一个单调区间，则 $ω$ 的最大值为。

随机地掷出三枚质地均匀、点数分别为 $1, 2, \dots, 6$ 的正方体骰子，所得点数之和为素数的概率为。

正实数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = 1$ ，且方程

a x^{2} + b x + c = 0

有实根，则 $ab c$ 的最大值为。

曲线

y = \frac{4}{x}

和

y = - x^{2} + 7

相交于点 $A, B, C$ ， $△ A BC$ 的外心和垂心为 $P$ 和 $Q$ ，则 $PQ =$ 。

对于正整数 $n$ ， $a_{n}$ 表示与 $3 n$ 最接近的整数（例如 $a_{20} = 3$ ），则

n = 1 \sum 555 \frac{1}{a _{n}} = 。

已知实数 $a > 0, b > 0$ ，且满足

a + 3^{b} = 6.

求 $3^{b} a^{b + 1}$ 的最大值。

$⊙ O_{1}$ 与 $⊙ O_{2}$ 交于 $A, B$ 两点，过点 $B$ 的直线分别交 $⊙ O_{1}, ⊙ O_{2}$ 于点 $C, D$ 。 $E$ 为线段 $A B$ 上异于 $A, B$ 的点，点 $F$ 满足

F O_{1} ⊥ E D, F O_{2} ⊥ EC .

证明： $BF ⊥ C D$ 。

已知 $n$ 为正整数，正实数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c = 3$ 。求证：

\frac{a ^{n} + 4 n}{( a + b ) ( a + c )} + \frac{b ^{n} + 4 n}{( b + c ) ( b + a )} + \frac{c ^{n} + 4 n}{( c + a ) ( c + b )} \geq \frac{3 ( 4 n + 1 )}{4} .

求所有满足

F (n^{2}) = n

的正整数 $n$ 的和，其中 $F (n)$ 表示正整数 $n$ 的正因数的个数。