培玉 · 一试

2009 年安徽预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

当且仅当实数 $a, b, c, d$ 满足

时，两个二次方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 与 $x^{2} + c x + d = 0$ 恰有一个公共根。

第 2 题

设凸四边形 $A BC D$ 满足 $A B = A D = 1$ ， $∠ A = 16 0^{\circ}$ ， $∠ C = 10 0^{\circ}$ ，则对角线 $A C$ 的长度的取值范围是

第 3 题

若十进制三位数 $n = \overline{ab c}$ 满足 $a, b, c$ 成等差数列，则 $n$ 的素因子的最大可能值为

第 4 题

当实数 $a \in$ 时，不存在实数 $x$ 使得

∣ x + a + 1∣ + ∣ x + a^{2} - 2∣ < 3.

第 5 题

过点 $A (1505, 1008)$ 且与直线 $l_{1} : y = 0$ 和 $l_{2} : y = \frac{4}{3} x$ 都相切的所有圆的半径之和为

第 6 题

已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 满足 $f (5 - x) = f (5 + x)$ 且 $a > 0$ ，则三个函数值 $f (40)$ 、 $f (2 π)$ 、 $f (5 sin 4 5^{\circ})$ 由小到大排序为

第 7 题

设平面 $α$ 外一定点 $P$ 到 $α$ 的距离为 $h$ ， $α$ 上的三个动点 $A, B, C$ 到 $P$ 的距离分别为 $a, b, c$ ，并且 $∠ PB A = 9 0^{\circ}$ ，则 $△ A BC$ 的面积的最大值为

（用 $a, b, c, h$ 表示）。

第 8 题

设直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 平行，在 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 上分别取 $10$ 个点 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{10}$ 和 $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{10}$ ，则线段 $A_{1} B_{1}$ 、 $A_{2} B_{2}$ 、 $\dots$ 、 $A_{10} B_{10}$ 可以将 $l_{1}, l_{2}$ 所夹的带状区域分成最多

个不相交部分。

第 9 题

已知平行四边形 $A BC D$ 满足 $∠ B A D > 9 0^{\circ}$ ，向四边形外部作 $△ D CE$ 和 $△ BCF$ ，使得

∠ E D C = ∠ CBF, ∠ D CE = ∠ BFC .

连接 $EF$ ，向 $△ CEF$ 外部作 $△ EFG$ ，使得

∠ EFG = ∠ CFB, ∠ FEG = ∠ CE D .

证明： $△ A EF ≅ △ GEF$ .

第 10 题

已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{n} = \frac{a _{n - 2}}{a _{n - 1}} (n \geq 3) .

求 $a_{n}$ 的通项公式。

第 11 题

求方程

⌊ \frac{x}{2} ⌋ + ⌊ \frac{x}{3} ⌋ + ⌊ \frac{x}{7} ⌋ = x

的所有解，其中 $⌊ a ⌋$ 表示不超过 $a$ 的最大整数。

第 12 题

假设平面点集 $S$ 具有性质：
(i) 任意三点不共线；
(ii) 任意两点距离各不相等。
对于 $S$ 中两点 $A, B$ ，若存在 $C \in S$ 使得 $∣ A C ∣ < ∣ A B ∣ < ∣ BC ∣$ ，则称 $A B$ 是 $S$ 的一条中边。对于 $S$ 中三点 $A, B, C$ ，若 $A B, A C, BC$ 都是 $S$ 的中边，则称 $△ A BC$ 是 $S$ 的中边三角形。求最小的 $n$ ，使得任意具有性质 (i) 和 (ii) 的 $n$ 元平面点集 $S$ 中一定存在中边三角形。