2009 年安徽预赛 · 第 8 题

解答

第 $i$ 条线段与此前 $i-1$ 条线段至多有 $i-1$ 个不同内交点，故至多分成 $i$ 段、增加 $i$ 个区域。因此总区域数至多为 $1+{\sum }_{i=1}^{10}i=56$。 为达到上界，可取两边界为 $y=1,y=0$，令 $A_i=(i,1),B_i=(-i^2,0)$。第 $i,j$ 条线段的交点为

位于带内。若三条不同线段共点，比较其中两组交点纵坐标会得 $i+j=i+k$，矛盾。所以它们两两相交且无三线共点，各步均达到新增 $i$ 个区域。所求为 $\boxed{56}$。