培玉 · 一试

2025 年广州预赛

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第 1 题

已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $\frac{2 π}{3}$ ，集合

A = {sin a_{n} ∣ n \in N_{+}}

有且仅有两个元素，则集合 $A$ 的两个元素之积为。

第 1 题

如图，已知 $A D$ 是 $△ A BC$ 的高线，在 $A D$ 上取点 $E$ ， $A F ⊥ CE$ 于点 $F$ ， $A F$ 交 $BC$ 于点 $G$ ， $H E ⊥ A B$ 于点 $H$ ， $H E$ 交 $BC$ 于点 $I$ 。设 $BE$ 与 $A I$ 交于点 $M$ ， $GE$ 与 $A C$ 交于点 $N$ 。求证： $H F$ 与 $MN$ 的交点在 $BC$ 上。

第 2 题

已知实数 $a, b$ 满足

ln 2 a - 1 + a - 5 = 0, e^{b} + b - 9 = 0,

则 $2 a + b =$ 。

第 2 题

设整数 $n \geq 2$ ， $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 为实数。求证：

(1 \leq i \leq n max x_{i})^{2} + 4 i = 1 \sum n - 1 (x_{i + 1} - x_{i}) 1 \leq j \leq i max x_{j} \leq 4 x_{n}^{2} .

第 3 题

记 $△ A BC$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ 。若

ab cos C, b c cos A, c a cos B

依次构成公比为 $2$ 的等比数列，则 $tan B =$ 。

第 4 题

已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (- 2 - x) = f (x)$ ，且 $f (- 3) = 1$ ，则

i = 1 \sum 4 n + 1 i^{2} f (i) = .

第 5 题

已知双曲线

C : x^{2} - \frac{y ^{2}}{3} = 1

的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点。若 $△ A F_{1} B$ 的外接圆被 $x$ 轴截得的弦长为 $7$ ，则 $∣ A B ∣ =$ 。

第 6 题

从棱长为 $1$ 的正方体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A BC D$ 的八个顶点中随机取出 $4$ 个点，记这四个点构成的空间几何体的体积为 $V$ ，规定四点共面时 $V = 0$ 。则 $V$ 的数学期望为。

第 7 题

两个正整数 $a, b$ （ $a \leq b$ ）满足

(a, b) + [a, b] + a + b = ab,

其中 $(a, b)$ 表示 $a, b$ 的最大公约数， $[a, b]$ 表示 $a, b$ 的最小公倍数。记 $a + b = n$ ，则所有 $n$ 的取值之和为。

第 8 题

已知正数 $x, y, z, w$ 满足

x + 2 y \leq 3 z + 4 w, x \geq y \geq z,

则

\frac{4 w}{3 y} + \frac{z}{2 x}

的最小值为。

第 9 题

已知三棱锥 $P - A BC$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A BC$ ，且

P A = BC = 1, A B + A C = 2.

若二面角 $P - BC - A$ 的平面角与 $∠ B A C$ 的大小相等，则三棱锥 $P - A BC$ 的外接球表面积为。

第 10 题

给定整数 $n \geq 4$ 。由 $3 n + 1$ 条单位线段围成 $1$ 行 $n$ 列相连的单位正方形方格图，其中水平的单位线段称为“横线段”，竖直的单位线段称为“竖线段”。现将方格图中的部分单位线段染成红色，如果图中的红色横线段和红色竖线段没有公共点，则称这种染法为“无直角”的。在所有使得上述方格图“无直角”的染法中，恰有两条红色竖线段的染法种数为。

第 11 题

已知椭圆

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

的短轴端点分别为 $A (0, b), B (0, - b)$ ，以 $A B$ 为直径的圆与直线 $a x - b y = 0$ 的一个交点为

(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) .

（1）求椭圆 $C$ 的方程；

（2）是否存在方向向量为 $n = (3, 1)$ 的直线 $l$ ，与椭圆交于 $D, E$ 两点（异于点 $A$ ），且 $A D$ 与 $A E$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ？若存在，求出所有满足条件的直线方程；若不存在，说明理由。

第 12 题

已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 满足

∣ z_{2} ∣ = 1, ∣ z_{1} + i z_{2}^{2} ∣ + ∣ z_{2} + z_{3}^{2} ∣ \leq 3.

求

∣ z_{1}^{2} + z_{2} ∣ + ∣ z_{2}^{2} + z_{3} ∣

的最大值。