培玉 · 一试

2009 年河南预赛

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第 1 题

动点 $M (x, y)$ 满足

(x - sin α)^{2} + (y - cos α)^{2} = ∣ x sin α + y cos α - 1 ∣,

（其中 $α$ 是常数），那么点 $M$ 的轨迹是。

第 2 题

在单位正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，用

A B_{1} C, B C_{1} D, C D_{1} A, D A_{1} B, A_{1} B C_{1}, B_{1} C D_{1}, C_{1} D A_{1}, D_{1} A B_{1}

这八个平面去截这个单位正方体。求含正方体中心的那一部分的体积。

第 3 题

设 $0 < x < 1$ ， $a, b$ 都为大于零的常数。求

\frac{a ^{2}}{x} + \frac{b ^{2}}{1 - x}

的最小值。

第 4 题

在正三棱锥 $P - A BC$ 中， $M$ 为 $△ A BC$ 内（含边界）一动点，且点 $M$ 到三个侧面 $P A B$ 、 $PBC$ 、 $PC A$ 的距离成等差数列。求点 $M$ 的轨迹。

第 5 题

已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为

a_{n} = \frac{1}{( n + 1 ) n + n n + 1}, n \in N^{*} .

其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 。在数列 $S_{1}, S_{2}, \dots, S_{2009}$ 中，有理数项共有多少项？

第 6 题

已知 $a > 0$ ，过 $M (a, 0)$ 任作一条直线交抛物线

y^{2} = 2 p x (p > 0)

于 $P, Q$ 两点。若

\frac{1}{∣ MP ∣ ^{2}} + \frac{1}{∣ MQ ∣ ^{2}}

为定值，求 $a$ 。

第 7 题

若 $sin α = - \frac{2}{2}$ ，且

cos (α - β) = \frac{1}{2}, β > 0,

则满足上述条件的 $β$ 的最小值为多少？

第 8 题

四面体 $A - BC D$ 中，

A B = C D = 5, A C = B D = 34, A D = BC = 41 .

求四面体 $A - BC D$ 的外接球半径。

第 9 题

在平面直角坐标系中，点集

M = {(x, y) x = sin α + cos β, y = cos α + sin β, α, β \in R} .

求点集 $M$ 所覆盖的平面图形的面积。

第 10 题

5 个人互相传球，要求接球后马上传给别人，由甲开始作为第一次传球。经过 $4$ 次传球后又传回到甲手中的不同传球方法种数为多少？

第 11 题

（12 分）设

f (x) = x^{2} + m x + n,

若不等式 $∣ f (x) ∣ > 2$ 在区间 $[1, 5]$ 上无解。

（1）
求 $f (1) - 2 f (3) + f (5)$ 的值；
（2）
求所有的实数对 $(m, n)$ 。

第 12 题

（13 分）已知三棱锥 $P - A BC$ 的三条侧棱 $P A, PB, PC$ 两两垂直，侧面 $P A B, PBC, PC A$ 与底面 $A BC$ 所成的二面角的平面角大小分别为 $θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}$ ，底面 $△ A BC$ 的面积为 $43$ 。

（1）
证明： $tan θ_{1} tan θ_{2} tan θ_{3} \geq 22$ ；
（2）
若 $tan θ_{1} + tan θ_{2} + tan θ_{3} = 32$ ，求该三棱锥的体积 $V_{P - A BC}$ 。

第 13 题

（12 分）已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，以 $M (1, 2)$ 为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形 $M A B$ 。

（1）
求证：直线 $A B$ 过定点；
（2）
过点 $M$ 作 $A B$ 的垂线交 $A B$ 于点 $N$ ，求点 $N$ 的轨迹方程。

第 14 题

（13 分）设集合 $I = {1, 2, 3, \dots, n}$ （ $n \in N^{*}$ ）。选择 $I$ 的两个非空子集 $A$ 和 $B$ ，使 $B$ 中最小的数大于 $A$ 中最大的数，记不同的选择方法数为 $a_{n}$ ，显然 $a_{1} = 0, a_{2} = (2 2) = 1$ 。

（1）
求 $a_{n}$ ；
（2）
记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 。