2011 年安徽预赛

按原题序浏览；已整理 12/12 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

以 $∣ X ∣$ 表示集合 $X$ 的元素个数。若有限集合 $A, B, C$ 满足 $∣ A \cup B ∣ = 20$ ， $∣ B \cup C ∣ = 30$ ， $∣ C \cup A ∣ = 40$ ，则 $∣ A \cap B \cap C ∣$ 的最大可能值为。

第 2 题

设 $a$ 是正实数。若 $f (x) = x^{2} - 6 a x + 10 a^{2} + x^{2} + 2 a x + 5 a^{2}$ （ $x \in R$ ）的最小值为 $10$ ，则 $a =$ 。

第 3 题

已知实系数多项式 $f (x) = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 满足 $f (1) = 2, f (2) = 4, f (3) = 6$ ，则 $f (0) + f (4)$ 的所有可能值集合为。

第 4 题

设展开式 $(5 x + 1)^{n} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}$ ， $n \geq 2011$ 。若 $a_{2011} = max (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n})$ ，则 $n =$ 。

第 5 题

在如图所示的长方体 $A BC D - EFG H$ 中，设 $P$ 是矩形 $EFG H$ 的中心，线段 $A P$ 交平面 $B D E$ 于点 $Q$ 。若 $A B = 3, A D = 2, A E = 1$ ，则 $PQ =$ 。

第 6 题

平面上一个半径为 $r$ 的动圆沿边长为 $a$ 的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积为。

第 7 题

设直角坐标平面上的点 $(x, y)$ 与复数 $x + y i$ 一一对应。若点 $A, B$ 分别对应复数 $z, z^{- 1}$ （ $z \in / R$ ），则直线 $A B$ 与 $x$ 轴的交点对应复数（用 $z$ 表示）。

第 8 题

设 $n$ 是大于 $4$ 的偶数。随机选取正 $n$ 边形的 $4$ 个顶点构造四边形，得到矩形的概率为。

第 9 题

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n} = 1 - \frac{a _{1} + \dots + a _{n - 2}}{4}$ （ $n \geq 3$ ），求 $a_{n}$ 的通项公式。

第 10 题

已知正整数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 都是合数，并且两两互素，求证：

\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + \dots + \frac{1}{a _{n}} < \frac{1}{2} .

第 11 题

设 $f (x) = a x^{3} + b x + c$ （ $a, b, c$ 是实数），当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $0 \leq f (x) \leq 1$ 。求 $b$ 的最大可能值。

第 12 题

设点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ， $C (2, 0)$ ， $D$ 在双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的左支上， $D \neq = A$ ，直线 $C D$ 交双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的右支于点 $E$ 。求证：直线 $A D$ 与 $BE$ 的交点 $P$ 在直线 $x = \frac{1}{2}$ 上。