培玉 · 一试

2023 年福建预赛（第 1–15 题）

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第 1 题

已知 $z_{1}, z_{2}$ 是互为共轭的复数。若

∣ z_{1} - z_{2} ∣ = 43, \frac{z _{1}}{z _{2}^{2}} \in R,

则 $∣ z_{1} ∣ =$ 。

第 2 题

盒子中有大小、形状完全相同的 $3$ 个红球和 $3$ 个白球。现抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出几点就从盒子中取出几个球。则取出的球中红球个数大于白球个数的概率为。

第 3 题

在菱形 $A BC D$ 中， $∠ D A B = 6 0^{\circ}$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起得到 $△ A_{1} B D$ 。若二面角 $A_{1} - B D - C$ 为 $6 0^{\circ}$ ，则异面直线 $D A_{1}$ 与 $BC$ 所成角的余弦值为。

第 4 题

在锐角 $△ A BC$ 中， $∠ C A B = 6 0^{\circ}$ ， $BC = 2$ ， $D$ 为 $△ A BC$ 外角平分线上的一点。若

C D = C A + λ (\frac{A C}{∣ A C ∣} + \frac{A B}{∣ A B ∣}),

则实数 $λ$ 的取值范围为。

第 5 题

本题整理中，不计分。

第 6 题

若正整数 $x, y, z$ 满足

x + 2 x y + 3 x yz = 115,

则 $x + y + z =$ 。

第 7 题

已知双曲线

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的离心率为 $17 /3$ ， $F$ 为右焦点，点 $A, B$ 在右支上。设 $D$ 为 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点，且 $D F ⊥ A B$ 。若

A F = λ FB,

则 $λ =$ 。

第 8 题

若正实数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 满足

a_{1} \geq a_{2} a_{3}^{2}, a_{2} \geq a_{3} a_{4}^{2}, a_{3} \geq a_{4} a_{1}^{2}, a_{4} \geq a_{1} a_{2}^{2},

则

a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} (a_{1} - a_{2} a_{3}^{2}) (a_{2} - a_{3} a_{4}^{2}) \cdot (a_{3} - a_{4} a_{1}^{2}) (a_{4} - a_{1} a_{2}^{2})

的最大值为。

第 9 题

已知数列 ${a_{n}}$ 中，

a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{n + 2} - 3 a_{n + 1} + 2 a_{n} = 1.

设 $T_{n}$ 为数列 ${8/ a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则

⌊ T_{2023} ⌋ = .

（符号 $⌊ x ⌋$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。）

第 10 题

设整数 $n \geq 4$ ， $A = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ 是整数集，满足 $2023 \in A$ ，且 $A$ 中任意两个元素的差的绝对值是素数。则这样的集合 $A$ 共有个。

第 11 题

若不等式

\frac{1}{20 a + 23 b} + \frac{1}{23 a + 20 b} \geq \frac{λ}{a + b}

对所有正实数 $a, b$ 都成立，求 $λ$ 的最大值。

第 12 题

已知 $B_{1}, B_{2}$ 分别为椭圆

C : \frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{4} = 1

的下顶点、上顶点。过点 $A (0, - 22)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P, Q$ 两点（异于点 $B_{1}, B_{2}$ ）。

（1）若

tan ∠ B_{1} P B_{2} = 2 tan ∠ B_{1} Q B_{2},

求直线 $l$ 的方程；

（2）设 $R$ 为直线 $B_{1} P, B_{2} Q$ 的交点，求 $A R \cdot B_{1} B_{2}$ 的值。

第 13 题

本题整理中，不计分。

第 14 题

已知函数

f (x) = cos x + m (x + \frac{π}{2}) sin x, m \leq 1.

（1）讨论 $f (x)$ 在区间 $(- π, 0)$ 内零点的个数；

（2）若存在 $t > 0$ ，当

x \in (- \frac{π}{2} - t, - \frac{π}{2})

时，总有

∣ f (x) ∣ < - 2 x - π

成立，求符合条件的 $m$ 的最小值。

第 15 题

设有序数组

A = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{10})

同时满足以下 $4$ 个条件：

（1） $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{10}$ 是 $1, 2, \dots, 10$ 的一个排列；

（2） $a_{1} < a_{2}, a_{3} < a_{4}, a_{5} < a_{6}, a_{7} < a_{8}, a_{9} < a_{10}$ ；

（3） $a_{2} > a_{3}, a_{4} > a_{5}, a_{6} > a_{7}, a_{8} > a_{9}$ ；

（4）不存在 $1 \leq i < j < k \leq 10$ ，使得 $a_{i} < a_{k} < a_{j}$ 。

求这样的有序数组 $A$ 的个数。