培玉 · 一试

2025 年山东预赛

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第 1 题

在递增的等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2}, a_{3}, a_{5}, a_{k}$ 依次成等比数列，则整数 $k$ 的值为。

第 2 题

在长方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = 1$ ， $BC = 2$ ， $C C_{1} = 3$ ，则四面体 $A - B_{1} C D_{1}$ 的体积为。

第 3 题

设实数 $x, y$ 满足

sin x + cos y = 1,

则 $cos x + sin y$ 的最大值为。

第 4 题

已知正数 $a, b, c$ 满足 $ab c > 1$ ，则

\frac{ab c ( a + b + c + 8 )}{ab c - 1}

的最小值为。

第 5 题

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = f (x)$ 的图像既关于点 $(2, 2)$ 中心对称，又关于直线 $x + y = 0$ 对称。若

f (x) = 4 - x^{2} (0 < x < 2),

则 $f (\frac{80}{13})$ 的值为。

第 6 题

已知 $z$ 为复数，则满足方程

(z - z^{2}) (1 - z + z^{2})^{2} = \frac{1}{7}

的全部根为。

第 7 题

在 $3 \times 3$ 的方格棋盘中，一枚棋子占据一个方格，且两枚棋子不能占据同一方格。小明随机放入 $5$ 枚棋子，其中任两枚棋子所在方格不能恰好共用一个方格顶点的概率为。

第 8 题

对任意实数 $x$ ，分别用 $⌊ x ⌋$ 和 $⌈ x ⌉$ 表示不超过 $x$ 的最大整数和不小于 $x$ 的最小整数。若 $∣ x ∣ \leq 2025$ ，则满足方程

x^{3} + 1 = ⌊ x ⌋ x ⌈ x ⌉

的不同实数 $x$ 的个数为。

第 9 题

已知关于 $x$ 的三次方程

x^{3} - 20 x^{2} + 25 x - 2 = 0.

（1）证明：该方程有三个互不相同的实数解 $α < β < γ$ ；

（2）求

P = (lo g_{α + β + γ} (α β + β γ + γ α)) (lo g_{α β + β γ + γ α} (α β γ)) (lo g_{α β γ} (α + β + γ))

的值。

第 10 题

给定正实数 $p$ 。在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线

Γ : y^{2} + 2 p x + 2 m y = 2 m + 5

上的两个不同点 $A (0, a), B (0, b)$ 。设 $m$ 为任意实数，点 $C$ 的坐标为 $(1, 2)$ 。

（1）写出 $Γ$ 的开口朝向。请直接回答“ $x$ 轴”或“ $y$ 轴”的“正”或“负”方向即可，无需理由；

（2）判断 $△ A BC$ 的外接圆是否经过异于 $C$ 的定点 $D$ 。请求出 $D$ 点坐标或证明 $D$ 点不存在。

第 11 题

考虑一个四面体。

（1）若该四面体各棱长均为 $1$ 或 $2$ ，但不是正四面体，求该四面体体积的所有可能值；

（2）给定两正实数 $a, b$ （ $0 < a < b$ ），若存在一个四面体，它恰有两条棱长为 $a$ ，且该两棱共点，其余各棱长均为 $b$ ，试用 $a, b$ 表示该四面体的体积，并求 $\frac{a}{b}$ 的取值范围。

第 12 题

如图所示，已知 $△ A BC$ 内接于圆 $O$ ，圆 $I$ 与 $A B, A C$ 分别相切于点 $E, F$ ，点 $D$ 在圆 $O$ 上且满足 $∠ A D I = 9 0^{\circ}$ ，圆 $O$ 在点 $D$ 处的切线交 $BC$ 于点 $K$ 。

求证：点 $K$ 对圆 $I$ 与圆 $O$ 等幂。

注：点到圆的幂是指该点到圆心的距离与半径的平方差。

第 13 题

记 $[2025] = {1, 2, \dots, 2025}$ 。设集合族 $F$ 由 $[2025]$ 的若干个元素个数不超过 $2$ 的子集构成，且满足 $\emptyset \in F$ 。记

F_{j} = {F \in F ∣ ∣ F ∣ = j} (j = 0, 1, 2) .

对 $i = 0, 1$ ，已知：若集合 $X \in F_{i}$ ，则 $F_{i + 1}$ 中至少有 $13$ 个不同集合 $Y$ 满足 $X \subseteq Y$ 。

（1）求 $F$ 所含子集个数 $∣ F ∣$ 的最小可能值 $f$ ；

（2）当 $∣ F ∣ = f$ 时，求不同集合族 $F$ 的个数。