2025 年广东预赛

已知

则 $x+y=\underline{}$。

随机选择正八面体的三个面，这三个面的中心构成的三角形是正三角形的概率为 。

已知三角形 $ABC$ 的外心 $O$ 满足

则 $\sin A=\underline{}$。

已知三次多项式 $f(x)$ 满足

则 $f(5)=\underline{}$。

设 $ABCD$ 是一个正方形，点 $E$ 在正方形内，满足 $AE\perp DE$，且

若 $AE=1$，则 $BE$ 的长度为。

已知正数 $a,b$ 满足：对任意实数 $x$ 均有

则 $2a+b$ 的最大值为。

定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x),g(x)$ 满足

$g(0)\ne \frac{1}{2}$，$g(x)$ 为偶函数，且 $g(x)>0$ 恒成立。已知

则 $f(8)-g(8)=\underline{}$。

平面上有三个同心圆 ${\Gamma }_1,{\Gamma }_2,{\Gamma }_3$，半径分别为 $1,2,3$。 任取三个点 $A_1,A_2,A_3$，满足点 $A_i$ 在圆 ${\Gamma }_i$ 上 （$i=1,2,3$），则

的最大值为。

已知双曲线

斜率为 $-\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与 $G$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点。 点 $Q(-1,2)$ 不在 $l$ 上，直线 $AQ,BQ$ 分别交 $G$ 于另一点 $C,D$。 若 $CD\Vert l$，则 $G$ 的离心率为。

从集合 $S=\{1,2,3,\dots ,30\}$ 中选出个位数字互不相同的 $10$ 个数 $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$，其中任意两个数相差不为 $3$ 或 $27$。 这样的 $10$ 元子集 $T=\{x_1,x_2,\dots ,x_{10}\}$ 共有 种不同的取法。

已知数列满足

定义

1. (1)

   求 $b_{2025}$ 的值；

2. (2)

   是否存在实数 $r$，使得

   $$\sum _{k=2}^n\frac{1}{c_k}<r$$

   对任意 $n\ge 2$ 恒成立？若存在，求出 $r$ 的取值范围；若不存在，请说明理由。

已知双曲线

其左、右焦点分别为 $F_1,F_2$。过 $F_2$ 的直线 $l$ 与双曲线右支交于 $A,B$ 两点，$P,Q$ 分别为 $△A{F}_1{F}_2$ 和 $△B{F}_1{F}_2$ 的内心。 设直线 $AP,BQ$ 分别与 $x$ 轴交于 $D,E$。

1. (1)

   求四边形 $P{F}_{1}Q{F}_2$ 面积 $S$ 的取值范围；

2. (2)

   求 $DE$ 的取值范围。

已知非负实数 $x_1,x_2,\dots ,x_5$ 满足

求下列表达式的最大值：