2023 年北京预赛

如图，$\angle ACB=90^{\circ }$，$AC=BC$，$AD\perp CE$，$BE\perp CE$，垂足分别为 $D,E$。已知 $AD=8$，$BE=3$，则 $DE=\underline{}$。

$S$ 是集合 $\{1,2,\dots ,2023\}$ 的子集，满足任意两个元素的平方和不是 $9$ 的倍数，则 $|S|$ 的最大值是。（这里 $|S|$ 表示 $S$ 的元素个数）

已知函数 $f(x)=\sin \omega x+\sin 2x$，其中 $\omega \in {\mathbb{N}}_{+}$，$\omega \le 2023$。若 $f(x)<2$ 恒成立，则满足题设的常数 $\omega$ 的个数为。

已知集合 $A=\{1,2,3\}$，映射 $f:A\to A$ 满足：对任意 $x\in A$，都有 $f(f(x))\ge x$。则这样的 $f$ 有个。

已知向量 $|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=2$，且 $\vec{a},\vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ }$。若 $\vec{a}+t\vec{b}$ 与 $t\vec{a}+\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $t$ 的取值范围是。

设实数 $x,y$ 满足

则 $x+y=\underline{}$。

已知在 $△ABC$ 中，$a=2b$，$\cos B=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，则

使得 $n^2+2023n$ 为平方数的正整数 $n$ 的最小值是。

已知 $a,b$ 为正整数，$a<b$，且 $a,b$ 互质。若关于 $x,y$ 的不等式

有且仅有 $2023$ 组正整数解，则 $(a,b)=\underline{}$。（求出满足题意的所有可能数组）

已知 $x$ 是一个锐角，则

的最小值是。

现有 $11$ 位同学报名博物馆的志愿讲解活动，活动从上午 $9$ 点开始到下午 $5$ 点结束，每小时安排一场公益小讲堂，每场需要 $1$ 位同学为参观的游客提供讲解服务。为避免同学们劳累，馆方在排班时不会让同一人连续讲解 $2$ 场，并且第一场与最后一场需要两位不同的同学负责。则馆方共有种排班方式。

已知实数 $a_1,a_2,\dots ,a_n>0$，求证：

其中 $a_0=a_n,a_{n+1}=a_1$。

如图，$△ABC$ 为给定的锐角三角形，其内切圆 $\omega$ 分别与边 $AB,AC$ 切于点 $K,L$。高 $AH$ 分别与 $\angle ABC,\angle ACB$ 的平分线交于点 $P,Q$。设 ${\omega }_1,{\omega }_2$ 分别为 $△KPB,△LQC$ 的外接圆，$AH$ 的中点在 ${\omega }_1,{\omega }_2$ 外。求证：从 $AH$ 的中点引向 ${\omega }_1$ 和 ${\omega }_2$ 的切线长相等。

某校举办数学文化节，据统计当天共有 $980$ 多（不少于 $980$，小于 $990$）名同学进校参观，每位同学进校参观一段时间后离开（之后不会再进来）。若无论这些同学以怎样的时间安排参观，我们都能找到 $k$ 位同学，使得要么这 $k$ 位同学在某个时间都在校园内参观，要么任何时间他们中都没有两个人同时在校园内参观。求 $k$ 的最大值。

求所有的正整数 $k\le 100$，使得存在整数 $n$，满足

为 $k$ 的倍数。