2023 年上海高中数学竞赛（高三卷）

若不等式

对任意 $x\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 均成立，则实数 $a$ 的取值范围是。

将一枚硬币和一个骰子同时投掷，硬币出现正面记为 $2$、出现反面记为 $1$。此数与骰子的点数之积记为 $x$，那么 $x$ 的数学期望是。

已知长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=BC=4$，$A{A}_1=2$。$P$ 是平面 $A_{1}BC$ 上的一个动点，且

则满足上述条件的所有点 $P$ 所围成的平面区域的面积为。

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $y=x^3-ax$ 有两条互相平行的切线。若这两条切线的斜率均为 $1$，且两条切线之间的距离为 $8$，则实数 $a$ 的值为。

正整数 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 构成一个严格递增的等比数列，且满足

则 $a_1=$，公比 $q=$。

已知曲线 $\Gamma$ 的方程是

若过点 $A(1,0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $\Gamma$ 恰有三个不同的交点，则 $l$ 的倾斜角的取值范围是。

给定正实数 $k$。对任意正实数 $a,b$，记

则 $m$ 的最大值为。（$\min \{x,y\}$ 表示实数 $x,y$ 中的较小者。）

十进制六位数 $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}$ 中，每个数码 $a_i$（$1\le i\le 6$）都是奇数，且其中出现的数码 $1$ 不允许相邻（例如，$135131,577797$ 满足条件，而 $311533$ 不满足条件），则这种六位数的个数是。

已知抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）与双曲线 $y=-\frac{1}{x}$ 相交于点 $R$，抛物线与双曲线的公切线分别与抛物线、双曲线相切于点 $S,T$。求证：对于任意正实数 $p$，$△RST$ 的面积为与 $p$ 无关的常数，并求该常数。

设集合 $M=\{1,2,\dots ,2023\}$。对 $M$ 的子集 $A=\{a_1,\dots ,a_k\}$，令它对应一个数

（空集 $\varnothing$ 对应的数 $\alpha =(-1{)}^0=1$）。对 $M$ 的所有子集 $A$， 求它们对应的数的总和

给定直角三角形 $ABC$，其中 $\angle ACB=90^{\circ }$，$BC=a$，$CA=b$。点 $D,E,F$ 分别在边 $BC,CA,AB$ 上，使得 $△DEF$ 是正三角形。求 $△DEF$ 面积的最小值。

求最小的整数 $t>3$，使得存在两个正整数 $m,n$，满足：$m,n$ 都恰有 $t$ 个正约数；若将 $m$ 的正约数从小到大排列为

将 $n$ 的正约数从小到大排列为

则存在一个整数 $2\le r\le t-2$，使得