培玉 · 一试

2022 年贵州预赛

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按原题序浏览；已整理 13/15 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

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练习时长（分钟）

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第 1 题

双曲线 $x^{2} - y^{2} = 2022$ 上格点（横纵坐标均为整数的点）的个数为（）

A. $0$ B. $4$ C. $8$ D. $12$

第 2 题

平面 $α$ 与长方体的六个面所成的角分别为 $θ_{i} (i = 1, 2, \dots, 6)$ ，则

i = 1 \sum 6 sin^{2} θ_{i}

的值为（）

A. $2$ B. $3$ C. $4$ D. $6$

第 3 题

本题整理中，不计分。

第 4 题

如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作（其中 $∠1 = ∠2 = ∠3$ ），得到四个小正方形 $A, B, C, D$ ，记它们的面积分别为 $S_{A}, S_{B}, S_{C}, S_{D}$ 。则以下结论正确的是（）

A. $S_{A} + S_{D} = S_{B} + S_{C}$ B. $S_{A} S_{D} = S_{B} S_{C}$

C. $S_{A} + S_{D} \geq 2 S_{B}$ D. $S_{D} + S_{A} < 2 S_{C}$

第 5 题

$M, N$ 分别是 $Rt △ A BC$ 两直角边上的动点， $P$ 是线段 $MN$ 的中点。则以下结论正确的是（）

A. 当 $△ A MN$ 的面积为定值时，点 $P$ 的轨迹为双曲线的一支

B. 当 $∣ MN ∣$ 为定值时，点 $P$ 的轨迹为一圆弧

C. 当 $∣ A M ∣ + ∣ A N ∣$ 为定值时，点 $P$ 的轨迹为空端点线段

D. 当 $△ A MN$ 的周长为定值时，点 $P$ 的轨迹为抛物线

第 6 题

本题整理中，不计分。

第 7 题

甲烷分子 $C H_{4}$ 的四个氢原子位于棱长为 $1$ 的正四面体的四个顶点，碳原子 $C$ 位于正四面体的中心 $C_{0}$ 。记四个氢原子分别为 $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ ，则

1 \leq i < j \leq 4 \sum C_{0} H_{i} \cdot C_{0} H_{j} = .

第 8 题

“爱心”是由曲线

C_{1} : x^{2} + y^{2} = 2∣ y ∣ (x \leq 0)

和

C_{2} : ∣ y ∣ = cos x + 1 (0 \leq x \leq π)

所围成的封闭图形。在区域

Ω = {(x, y) ∣ - 1 \leq x \leq π, - 2 \leq y \leq 2}

内任取一点 $A$ ，则 $A$ 取自“爱心”内的概率

P = .

第 9 题

函数

f (x) = \frac{x + 1}{x} + \frac{x + 2}{x + 1} + \dots + \frac{x + 2023}{x + 2022}

的对称中心为 $(a, b)$ ，则

2 a + b = .

第 10 题

已知 $P_{0} (1, f (1))$ 是曲线 $C : f (x) = e^{x}$ 上的点， $C$ 在 $P_{0}$ 处的切线 $l_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $Q (x_{1}, 0)$ 。过 $Q_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于点 $P_{1}$ ， $C$ 在 $P_{1}$ 处的切线 $l_{2}$ 交 $x$ 轴于点 $Q_{2} (x_{2}, 0)$ 。过 $Q_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于点 $P_{2}$ ， $C$ 在 $P_{2}$ 处的切线 $l_{3}$ 交 $x$ 轴于点 $Q_{3} (x_{3}, 0)$ 。过 $Q_{3}$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于点 $P_{3}$ 。重复上述操作，依次得到点 $Q_{4} (x_{4}, 0), Q_{5} (x_{5}, 0), \dots$ ，求 $x_{2023}$ 。

第 11 题

已知半径为 $1$ 的圆上有 $2022$ 个点，求证：至少存在一个凸 $337$ 边形，它的面积小于 $0.1$ 。（ $π \approx 3.142$ ， $3 \approx 1.732$ ）

第 12 题

函数

f (x) = x + \frac{1}{x}

的图像酷似教师批改作业时所画的“对勾”，所以我们常称 $f (x)$ 为“对勾函数”，其图像是渐近线分别为 $l_{1} : x = 0$ （即 $y$ 轴）与 $l_{2} : y = x$ 的双曲线。

（1）求函数 $f (x)$ 图像的顶点坐标和离心率；

（2）求函数 $f (x)$ 图像的焦点坐标。

第 13 题

正数 $a, b$ 满足 $a + b = 1$ ，求证：

(\frac{1}{a ^{2}} - a^{3}) (\frac{1}{b ^{2}} - b^{3}) \geq (\frac{31}{8})^{2} .

第 14 题

求所有正整数 $n$ 和质数 $p$ ，满足

1 7^{n} \cdot 2^{n^{2}} - p = (2^{n^{2} + 3} + 2^{n^{2}} - 1) n^{2} .

第 15 题

甲、乙二人轮流给一个正方体的棱涂色。首先，甲任选 $3$ 条棱涂成红色，然后乙从余下的 $9$ 条棱中任选 $3$ 条涂成绿色，接着甲从余下的 $6$ 条棱中任选 $3$ 条涂成红色，最后乙将余下的 $3$ 条棱涂成绿色。如果甲能将某个面上的 $4$ 条边全都涂成红色，甲就获胜。试问甲有必胜的策略吗？说明理由。