培玉 · 一试

2021 年江西预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

集合 $M$ 是集合 $A = {1, 2, \dots, 100}$ 的子集，且 $M$ 中至少含有一个平方数或者立方数，则这种子集 $M$ 的个数是。

第 1 题

使得 $3 n + 1$ 与 $5 n + 1$ 同时成为完全平方数的最小正整数 $n =$ 。

第 2 题

方程

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2021}

的正整数解的组数为。

第 3 题

$△ A BC$ 中， $A B = c$ ， $BC = a$ ， $A C = b$ ，且

a^{4} + b^{4} + c^{4} = 2 c^{2} (a^{2} + b^{2}) .

若 $∠ A = 7 2^{\circ}$ ，则 $∠ B =$ 。

第 4 题

边长为 $2$ 的正方形 $A BC D$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点。现将 $△ A E D, △ BEC$ 沿 $EC, E D$ 折起，使 $E A, EB$ 重合，组成一个四面体。则此四面体的体积是。

第 5 题

\frac{1}{sin 1 0 ^{\circ}} - \frac{3}{cos 1 0 ^{\circ}}

的值是。

第 6 题

设对每个实数 $x$ ， $f (x)$ 的值皆取 $x^{2}, 6 - x, 2 x + 15$ 中的最小值，则 $f (x)$ 的最大值是。

第 7 题

函数

f (x) = \frac{x - x ^{3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}

的值域是。

第 9 题

锐角 $△ A BC$ 中，若

cos^{2} A, cos^{2} B, cos^{2} C

的和等于 $sin^{2} A, sin^{2} B, sin^{2} C$ 中的某个值，求证： $tan A, tan B, tan C$ 必可按某顺序组成一个等差数列。

第 10 题

正整数数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} = a_{2} = a_{3} = 1,

它的任意连续四个项 $a_{n}, a_{n + 1}, a_{n + 2}, a_{n + 3}$ 都满足

a_{n} a_{n + 3} - a_{n + 1} a_{n + 2} = 1.

求证：对于它的任意三个连续项 $a_{n}, a_{n + 1}, a_{n + 2}$ 而言，其首尾两项之和 $a_{n} + a_{n + 2}$ 必是中间一项 $a_{n + 1}$ 的倍数。

第 11 题

给定 $⊙ P : x^{2} + y^{2} = 2 x$ 及抛物线 $S : y^{2} = 4 x$ 。过圆心 $P$ 作直线 $l$ ，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为 $A, B, C, D$ 。如果线段 $A B, BC, C D$ 的长按此顺序构成一个等差数列，求直线 $l$ 的方程。

第 12 题

锐角 $△ A BC$ 中，以高 $A D$ 为直径的圆 $ω$ 交 $A C, A B$ 于 $E, F$ 。过点 $E, F$ 分别作圆 $ω$ 的切线，两切线相交于点 $P$ 。求证：直线 $A P$ 重合于 $△ A BC$ 的一条中线。