2022 年江西预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

虎年 $2022$ 具有这样的性质：它是 $6$ 的倍数并且其各位数字之和为 $6$ ，这种正整数被称为“白虎数”。那么，在前 $2022$ 个正整数中，“白虎数”的个数

n = .

若一直线 $l$ 被另两条直线

l_{1} : 4 x + y + 6 = 0, l_{2} : 3 x - 5 y - 6 = 0

所截得的线段的中点恰好是坐标原点，则直线 $l$ 的方程为。

函数

f (x) = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} + 1}

的单调递减区间是。

若 $x, y, z \in R_{+}$ ，满足 $x y + yz + z x = 1$ ，则函数

f (x, y, z) = x y + 5 + yz + 5 + z x + 5

的最大值是。

边长为 $1$ 的正四面体在水平面上的正投影面积的最大值为。

\frac{2 cos 1 0 ^{\circ} - sin 2 0 ^{\circ}}{cos 2 0 ^{\circ}}

的值是。

若椭圆

W : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

的两焦点与短轴的一个顶点恰好组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆 $W$ 的焦点到椭圆的最短距离为 $3$ ，则椭圆 $W$ 的方程是。

对于正整数 $n$ ，将其各位数字之和记为 $s (n)$ ，各位数字之积记为 $p (n)$ 。若

s (n) + p (n) = n

成立，就称 $n$ 为巧合数，则所有巧合数的和为。

数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{0} = 0, a_{n} = \frac{1}{2} (3 a_{n - 1} + 5 a_{n - 1}^{2} + 4), n \geq 1.

求证：该数列的各项皆为自然数，且对于数列中的任意连续三项 $a_{n}, a_{n + 1}, a_{n + 2}$ ，其中任意两项的乘积加 $1$ 都是正整数的平方。

设 $x, y, z$ 为正实数，满足 $x yz = 1$ 。求证：

1 + 8 x + 1 + 8 y + 1 + 8 z \geq 9.

以 $△ A BC$ 的一边 $BC$ 为直径作圆，分别交 $A B, A C$ 所在直线于点 $E, F$ 。过 $E, F$ 分别作圆的切线交于点 $P$ ，直线 $A P$ 与 $BF$ 交于点 $D$ 。求证： $D, C, E$ 三点共线。

$P$ 是单位正方体内部或表面上的点，满足条件：

（1）正方体有一条棱的两个端点到 $P$ 的距离分别是 $\frac{8}{15}$ 与 $\frac{17}{15}$ ；

（2）正方体中至少有两个顶点到 $P$ 的距离相等。

试求同时满足上述条件的点 $P$ 的个数。