培玉 · 一试

2024 年江西预赛

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第 1 题

设集合 $A = {2, 3, 4, \dots, 4050}$ ，集合

B = {(a, b) ∣ lo g_{a} b + 8 lo g_{b} a = 6, a \in A, b \in A},

则集合 $B$ 的元素个数为。

第 2 题

设复数 $z$ 满足

\frac{4 z - 2}{2 z - 1} + ∣ z ∣^{2} = 0,

则 $∣ z + 1∣$ 的值为。

第 3 题

$P$ 是棱长为 $2$ 的正四面体 $A BC D$ 的面 $BC D$ 的中心， $M, N$ 分别是面 $A B D, A C D$ 上的动点，则 $PM + MN + NP$ 的最小值为。

第 4 题

\frac{cos ^{2} 2 0 ^{\circ} + cos ^{2} 4 0 ^{\circ} + cos ^{2} 8 0 ^{\circ}}{sin ^{4} 2 0 ^{\circ} + sin ^{4} 4 0 ^{\circ} + sin ^{4} 8 0 ^{\circ}}

的值为。

第 5 题

设 $b, c$ 为实数，满足关于 $x$ 的方程

f (x)^{2} + b f (x) + c = 0

有 $6$ 个互不相等的实数解，其中

f (x) = x - \frac{1}{x} - x + \frac{1}{x} + 2,

则 $f (2025 b) + f (c + 2024)$ 的最小值为。

第 6 题

正实数 $x, y, z$ 满足

x + 2 y^{2} + 4 x^{2} y^{2} z^{2} = 8,

则 $lo g_{4} x + lo g_{2} y + lo g_{8} z$ 的最大值为。

第 7 题

平面上同时和三直线

y = \frac{3}{4} x, y = - \frac{4}{3} (x - 5), y = 0

相切的所有圆的半径的乘积为。

第 8 题

已知正整数 $n$ 的所有正因数排列为

1 = d_{1} < d_{2} < d_{3} < \dots,

则在 $1, 2, 3, \dots, 2024$ 中使得 $d_{10} = 88$ 的所有数之和为。

第 9 题

双曲线 $Γ : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 的左、右顶点 $A, B$ 的距离为 $4$ ， $M, N$ 是 $Γ$ 右支上不重合的两动点，且满足

k_{BN} + 2 k_{A M} = 0,

其中 $k_{A M}, k_{BN}$ 是相应直线的斜率。求动直线 $MN$ 经过的定点的坐标。

第 10 题

实数 $a, b, c$ 满足 $ab + b c + c a = 44$ ，求

(a^{2} + 4) (b^{2} + 4) (c^{2} + 4)

的最小值。

第 11 题

设 $H$ 为锐角 $△ A BC$ 的垂心， $⊙ H$ 与边 $BC$ 切于点 $M$ ，且与边 $A B, A C$ 无交点。已知 $B D, CE$ 分别与 $⊙ H$ 切于点 $D, E$ （均异于 $M$ ）， $CF, BG$ 为 $△ A BC$ 的高。求证： $D, E, F, G$ 四点共线。

第 12 题

是否存在实数 $λ$ 和 $2024$ 次实系数多项式 $P (x), Q (x)$ ，满足对任意实数 $x$ 都有

P (x^{2} - x + 1) = Q (x^{2} + 2 x + λ)?

请说明理由。