培玉 · 一试

2013 年河南预赛

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第 1 题

已知数组 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 与 $(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ 都是 $1, 2, \dots, n$ 的一个排列，则

i = 1 \sum n a_{i} b_{i}

的最大值为。

第 2 题

若长方体的一条体对角线与从同一个顶点出发的三条棱所成的角分别记为 $α, β, γ$ ，则

\frac{cos β cos γ}{cos α} + \frac{cos γ cos α}{cos β} + \frac{cos α cos β}{cos γ}

的最小值为。

第 3 题

已知 $x, y$ 为实数，则

f (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - x - y

的最小值为。

第 4 题

在 $△ A BC$ 中，三边长分别为 $A B = 7, BC = 3, C A = 2$ ，则

A B \cdot BC + 2 BC \cdot C A + 3 C A \cdot A B

的值为。

第 5 题

已知 $a, b, c > 0$ 且 $a + 3 b + c = 9$ ，则 $a + b^{2} + c^{3}$ 的最小值为。

第 6 题

从不超过 $2013$ 的正整数确定的集合 ${1, 2, 3, \dots, 2013}$ 中先后取出两个正整数 $a, b$ （ $a, b$ 可以相等）组成数对 $(a, b)$ ，则 $(a, b)$ 恰为方程

x^{3} + y^{3} = x^{2} y^{2}

的解的概率为。

第 7 题

四棱锥 $F - A BC D$ 的底面 $A BC D$ 是菱形，对角线 $A C = 2, B D = 2$ ， $A E ⊥$ 平面 $A BC D$ ， $CF ⊥$ 平面 $A BC D$ ， $A E = 1, CF = 2$ ，则四棱锥 $E - A BC D$ 与四棱锥 $F - A BC D$ 公共部分的体积为。

第 8 题

平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $A (- 1, - 1)$ ， $B, C$ 是曲线 $x y = 1 (x > 0)$ 上不同的两点，且 $△ A BC$ 为正三角形，则它的外接圆面积为。

第 9 题

证明方程

3 x^{3} + 9 (1 + 3) x^{2} + 18 (1 + 3) x + 12 + 103 = 0

有唯一实根。

第 10 题

已知 $A, B, C$ 为 $△ A BC$ 的三个内角，向量 $α$ 满足

∣ α ∣ = 2, α = (cos \frac{A - B}{2}, 3 sin \frac{A + B}{2}) 。

若 $C$ 最大时，存在动点 $M$ ，使 $∣ M A ∣, ∣ A B ∣, ∣ MB ∣$ 成等差数列，求

\frac{∣ MC ∣}{∣ A B ∣}

的最大值。

第 11 题

在数列 ${x_{n}}$ 中， $x_{n} = p^{n} + q^{n}$ ， $p, q \in R$ ， $x_{1} = 1$ ， $x_{3} = 4$ 。

(1)
求证： $x_{n + 2} = x_{n + 1} + x_{n}$ ；
(2)
指出 $x_{2013}$ 的末位数字，但不必证明。

第 12 题

已知抛物线 $C : x^{2} = 2 y$ 与直线 $l : y = k x - 1$ 没有公共点。设点 $P$ 为直线 $l$ 上的动点，过 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线， $A, B$ 为切点。

(1)
证明：直线 $A B$ 恒过定点 $Q$ ；
(2)
若点 $P$ 与点 $Q$ 的连线交抛物线 $C$ 于 $M, N$ 两点，证明：
$∣ PM ∣ ∣ QN ∣ = ∣ PN ∣ ∣ QM ∣.$