2013 年河南预赛 · 第 9 题

解答

令 $t=x+1+\sqrt{3}$，原方程化为 $G(t)=3t^3-18t+10\sqrt{3}=0$。导数 $G\prime (t)=9(t^2-2)$，所以三个单调区间依次为递增、递减、递增。两个临界值为

后一个不等式可由300>288核实。又 $G(t)\to -\infty$ 当 $t\to -\infty$。由连续性与第一段严格单调性，恰有一根在 $(-\infty ,-\sqrt{2})$；后两段都为正，没有根。平移一一对应，故原方程有唯一实根。结论为 $\boxed{\text{唯一实根}}$。