2009 年陕西预赛

已知集合 $A=\{x\in \mathbb{R}\mid |x-2|\le 1\}$，集合 $B=\left\{x\in \mathbb{R}\mid \frac{x-5}{2-x}>0\right\}$，则 $A\cap B=\underline{}$。

如图是一个算法流程图。若输入 $n=1$，则最终输出的数据是 $\underline{}$。

设圆 $x^2+y^2=1$ 的一条切线与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $A,B$，则 $|AB|$ 的最小值为 $\underline{}$。

已知函数

若关于 $x$ 的方程 $f(x)=m$ 有两个不同的实根，则实数 $m$ 的取值范围是 $\underline{}$（用区间形式表示）。

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，$f(1)=2$，当 $x>0$ 时， $f(x)$ 是增函数，且对任意的 $x,y\in \mathbb{R}$，都有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$，则函数 $f(x)$ 在区间 $[-3,-2]$ 上的最大值是 $\underline{}$。

对于 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，若 $n\cdot 2^n+1$ 是 $3$ 的整数倍，则 $n$ 被 $6$ 除所得余数构成的集合是 $\underline{}$。

如图，$AB$ 是半圆 $O$ 的直径，$C,D$ 是半圆上的两个动点，且 $CD\Vert AB$。若半圆的半径为 $1$，则梯形 $ABCD$ 周长的最大值是 $\underline{}$。

如图，在 $△ABC$ 中，$AB=3,AC=5$，若 $O$ 为 $△ABC$ 的外心， 则 $\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{BC}$ 的值为 $\underline{}$。

一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球。若这三个小球的半径均为 $1$，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径 $R=$ $\underline{}$。

设 $0<\alpha <\pi ,\pi <\beta <2\pi$，若对任意的 $x\in \mathbb{R}$，等式

恒成立，试求 $\alpha ,\beta$ 的值。

如图，已知两点 $A(-\sqrt{5},0),B(\sqrt{5},0)$，$△ABC$ 的内切圆的圆心在直线 $x=2$ 上移动。

1. (1)

   求点 $C$ 的轨迹方程；

2. (2)

   过点 $M(2,0)$ 作两条射线，分别交（1）中所求轨迹于 $P,Q$ 两点，且 $\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MQ}=0$，求证：直线 $PQ$ 必过定点。

已知函数 $f(x)=\frac{16x+7}{4x+4}$，数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_1>0,b_1>0$， $a_n=f(a_{n-1}),b_n=f(b_{n-1})$，$n=2,3,\dots$。

1. (1)

   求 $a_1$ 的取值范围，使得对任意的正整数 $n$，都有 $a_{n+1}>a_n$；

2. (2)

   若 $a_1=3,b_1=4$，求证：$0<b_n-a_n\le \frac{1}{8^{n-1}}$，$n=1,2,3,\dots$。