培玉 · 一试

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2009 年陕西预赛 · 第 13 题

F3解答题数列综合

已知函数 $f (x) = \frac{16 x + 7}{4 x + 4}$ ，数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 满足 $a_{1} > 0, b_{1} > 0$ ， $a_{n} = f (a_{n - 1}), b_{n} = f (b_{n - 1})$ ， $n = 2, 3, \dots$ 。

(1)
求 $a_{1}$ 的取值范围，使得对任意的正整数 $n$ ，都有 $a_{n + 1} > a_{n}$ ；
(2)
若 $a_{1} = 3, b_{1} = 4$ ，求证： $0 < b_{n} - a_{n} \leq \frac{1}{8 ^{n - 1}}$ ， $n = 1, 2, 3, \dots$ 。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

须同时证明不动点两侧的区间保持与必要充分性，再利用两轨道精确差公式建立统一收缩率。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：递推的不变区间与临界值