2025 年上海预赛

函数

则 $f(x)$ 的最大值为。

对于实数 $x$，记 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数，则

已知 $\alpha ,\beta$ 是实数，

其中 $\mathrm{i}$ 是虚数单位。若 $z_1=z_2$，则 $\cos 2\alpha$ 的值为。

在正方形 $ABCD$ 中，以顶点 $B$ 为圆心、$BA$ 长为半径作弧 $AC$。点 $P$ 是弧 $AC$ 上一个动点，连接 $PD$，将 $PD$ 绕点 $P$ 逆时针方向旋转 $90^{\circ }$，得到线段 $PE$，连接 $BE$。若 $△BPE$ 面积的最大值为 $10$，则正方形 $ABCD$ 的面积为。

已知函数

若对任意实数 $x$ 均有 $f(x)<0$ 或者 $g(x)<0$，则实数 $m$ 的取值范围是。

从 $1,2,\dots ,30$ 这 $30$ 个正整数中任取 $3$ 个不同的数 $a,b,c$，其中 $a<b<c$。则数列 $a,b,c$ 能构成等比数列的概率是。（用最简分数表示答案）

设向量 $\vec{a},\vec{b}$ 的夹角为 $\theta$，且满足

若对任意实数 $\lambda$，均有

则

的最小值为。

对于正整数 $n$，记 $a_n$ 表示与 $\sqrt{n}$ 最接近的整数，例如 $a_2=1,a_3=2$。若

则 $n$ 的最大值为。

已知底面半径为 $3$、高为 $4$ 的圆锥内有一个内接圆柱，圆柱的上底面与圆锥的侧面所围成的小圆锥内有一个内切球。求内接圆柱与内切球的体积和的最大值。（答案中可以保留 $\pi$）

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，双曲线

的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$。若直线 $l$ 是过 $\Gamma$ 右支上点 $P$ 的切线，且 $l$ 不与 $x$ 轴垂直。过点 $F_1,F_2$ 分别作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $T_1,T_2$。

（1）证明：点 $T_1,T_2$ 均在以 $O$ 为圆心、$a$ 为半径的圆上，并且 $O{T}_1\Vert F_{2}P$，$O{T}_2\Vert F_{1}P$；

（2）证明：$|F_1{T}_1|\cdot |F_2{T}_2|$ 是定值。

记 ${\mathbb{N}}^{\ast }$ 表示全体正整数构成的集合。已知定义在 ${\mathbb{N}}^{\ast }$ 上的严格递增函数 $f(n)$，其值域 $A\subseteq {\mathbb{N}}^{\ast }$，且对任意正整数 $n$ 均有

（1）求 $f(1),f(2)$ 的值；

（2）求 $f(2025)$ 的值。

在一个 $45\times 45$ 的方格表中，取出十个矩形 ${\Gamma }_1,{\Gamma }_2,\dots ,{\Gamma }_{10}$，满足：每个矩形的四条边都重合于方格表的网格线或边界，且对每个 $i=1,2,\dots ,9$，矩形 ${\Gamma }_i$ 完全位于 ${\Gamma }_{i+1}$ 的内部（不含边界）。设 ${\Gamma }_1,{\Gamma }_2,\dots ,{\Gamma }_{10}$ 的面积分别为 $S_1,S_2,\dots ,S_{10}$。

（1）证明：对每个 $i=1,2,\dots ,10$，都有 $S_i\ne 333$；

（2）将

中的最小数记为 $m$，求 $m$ 的最大可能值。