2017 年安徽预赛

在不大于 $2017$ 的正整数中，共有个数可被 $12$ 整除但不能被 $20$ 整除。

设复数 $z$ 满足 $\frac{2017z-25}{z-2017}=3+4i$，其中 $i$ 是虚数单位，则 $z$ 的模长 $|z|=\underline{}$。

设圆内接四边形 $ABCD$ 的边长分别为 $AB=3$，$BC=4$，$CD=5$，$DA=6$，则四边形 $ABCD$ 的面积是 $\underline{}$。

设正八面体的边长是 $1$，则其两个平行表面之间的距离是 $\underline{}$。

设平面向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}+2\vec{b}|=3$，$|2\vec{a}+3\vec{b}|=4$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的最小值是 $\underline{}$。

过椭圆 $x^2+2y^2=3$ 的一个焦点作斜率为 $k$ 的直线，交椭圆于 $A,B$ 两点。若 $AB=2$，则 $|k|=\underline{}$。

设 $\theta \in [0,2\pi ]$，若对任意 $x\in [0,1]$ 恒有 $2x^2\sin \theta -4x(1-x)\cos \theta +3(1-x{)}^2>0$，则 $\theta$ 的取值范围是 $\underline{}$。

设 $n$ 是正整数，随机选取集合 $\{1,2,\dots ,n\}$ 的非空子集 $A$ 和 $B$，则 $A\cap B$ 不是空集的概率是 $\underline{}$。

如图，设 $H$ 是 $△ABC$ 的垂心，$D$ 在直线 $AC$ 上，且满足 $HA=HD$，四边形 $ABEH$ 是平行四边形。证明：$B,C,D,E,H$ 五点共圆。

设 $0<x<\frac{\pi }{2}$，证明 $0<\frac{x-\sin x}{\tan x-\sin x}<\frac{1}{3}$。

设 $x,y\in [0,1]$，求 $f(x,y)=\sqrt{\frac{1+xy}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{1-xy}{1+y^2}}$ 的取值范围。

设数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$、$\{c_n\}$ 满足 $a_{n+1}=|b_n-c_n|,b_{n+1}=|c_n-a_n|,c_{n+1}=|a_n-b_n|,n\in \mathbb{N}$。证明：对于任意正整数 $a_1,b_1,c_1$，存在正整数 $k$，使得 $a_{k+1}=a_k,b_{k+1}=b_k,c_{k+1}=c_k$。