2017 年安徽预赛 · 第 12 题

思路

正整数严格递降不能无限持续，这是递降法。对称地排序可研究多重集合，但题目要求逐坐标稳定，最后须在原位置代回。

想法从哪来：绝对差递推若逐坐标追踪，会遇到许多大小次序；但每一步的三数多重集合只取决于排序后的最小、中间和最大数。排序后两段差相加恰为总差，因此一步以后总有“最大数等于另两数之和”的结构。这个结构把以后的三元组压缩成两个数，下一步最大值只会降到原来的较大加数。若两个加数都正，最大整数就严格下降，不能无限下降而仍保持正。这引导我们以最大值作递降量，而非试图猜周期。到出现零时再回到有序坐标核算：两个相等数与零在原位置确实固定，不能只证明排序后的形状不变。

绝对差后三个数中的最大者等于另外两个之和；若三者都正，下一步最大值严格下降，整数性保证最终出现零。